Donner les coordonnées polaires de points connaissant les coordonnées cartésiennes

Bonjour,

Voila mon exercice :

Donner les coordonnées polaires (r,θ) des points de coordonnées cartésiennes (x,y) ; (-x,y) ; (x,-y) et (-x,-y) dans chaque cas (a est un réel positif) :

a) x = y = a
b) x = a√3 et y = a
c) x = a et y = a√3

Merci de votre aide

J'ai commencé mais je trouve ça bizarre :

a) (x,y) => (a,a)

On a r = √(a²+a²) = √(2a²)

cos θ = (x/r) = a/√(2a²) = a²/(2a²) = 1/2
sin θ = (y/r) = a/√(2a²) = a²/(2a²) = 1/2

Après j'ai dessiné le cercle trigonométrique et j'ai placé le point et je trouve que θ = pie/4 puis ce que l'angle droit est coupé en deux.

Mais après pour (-x,y) ; (x,-y) et (-x,-y) c'est la même chose non ? Puis ce que lorsqu'on élève -x² ça fait x le moins part et on retombe au même truc non ?

Bonsoir.
Comme a est un réel positif tu peux mettre que √(2a²)=a√2. Ça fait tout de même plus propre ;).

les points de coordonnés (-x,y) ; (x,-y) et (-x,-y) ne peuvent pas (dans le cas général) avoir les même coordonnés polaires que le point (x,y) puisque tous ces points ne se trouvent pas au même endroit.
Il vaut mieux toujours essayer d'interpréter ses résultats, ça évite des erreurs bêtes.

Dans les quatre cas r=√((±x)²+(±y)²)=√(x²+y²), r est donc dans les quatre cas identique.
supposons que (x,y) se note en coordonnés polaires (r,θ), là je viens de définir de manière particulière r et θ.
On cherche dans le cas général les coordonnés polaires de (-x,y) et qu'on va noter $r_1$ ,θ $_1$ ). On a déjà montré que $r_1$ =r, c'est donc l'angle qui nous intéresse.

cos θ$$_1$=(-x/r_1$)=(-x/r)=-cos θ
de la même façon sin θ $_1$ =sin θ
On voit bien que θ n'est pas égal à θ $_1$ en fait comme tu le vois sur le cercle trigo θ $_1$ =π-θ (je ne te mets pas la relation de congruence car c'est méchant pour un 1ère, mais en fait l'égalité n'est pas tout à fait rigoureuse. Quoi que pour des coordonnés tu peux t'en servir pour définir θ $_1$ et c'est parfaitement exact).

Ainsi (-x,y) s'écrit en coordonnés polaires (r, π-θ) quelque soit x et y. et tu n'as plus qu'à appliquer dans les question a), b) et c) qui ne sont que des cas particuliers.
Si tu fais de la même façon, dans le cas général (x,-y) et (-x,-y) tu n'auras de même qu'à appliquer à ce que tu auras trouvé comme coordonnés polaires pour (x,y) dans a), b) et c). Ainsi tu fais seulement 6 calculs au lieu de 12 et ça fait une bonne impression au prof.

Je vous poste là mon exercice enfin le a) complet pouvez vous me dire si tout est juste ? Merci

a) x = y = a

¤ (x,y) => (a,a)

On a r = √(a²+a²) = √(2a²) = a√2

cos θ1 = (x/r) = a/a√2 = a²/(2a²) = 1/2
sin θ1 = (y/r) = a/a√2 = a²/(2a²) = 1/2

θ = pi/4

Les coordonnées polaires sont donc (a√2 ; pi/4)

¤(-x,y) => (-a,a)

On a r = √(-a²+a²) = √(2a²) = a√2

cos θ = (-x/r) = -a/a√2 = - cos θ1 = -1/2
sin θ = (y/r) = a/a√2 = a²/(2a²) = 1/2

θ = 3pi/4

Les coordonnées polaires sont donc (a√2 ; 3pi/4)

¤(x,-y) => (a,-a)

On a r = √(a²+(-a²)) = √(2a²) = a√2

cos θ = (x/r) = a/a√2 = 1/2
sin θ = (-y/r) = -a/a√2 = - sin θ1 = -1/2

θ = -pi/4

Les coordonnées polaires sont donc (a√2 ; -pi/4)

¤(-x,-y) => (-a,-a)

On a r = √(-a²+(-a²)) = √(2a²) = a√2

cos θ = (-x/r) = -a/a√2 = - cos θ1 = -1/2
sin θ = (-y/r) = -a/a√2 = - sin θ1 = -1/2

θ = -3pi/4

Les coordonnées polaires sont donc (a√2 ; -3pi/4)

Voila est-ce que tout est juste ??

Il me semble que 1/√2 n'est pas égal à 1/2 ......

Or a/(a√2) = 1/√2 qui n'a rien à voir avec 1/2

Et cos( $p i$ /4) est différent de 1/2

Regarde le cercle trigonométrique que j'ai mis en ligne dans les fiches de maths

O la la je ne comprends plus rien pouvez vous m'aider s'il vous plait !

Pour le premier c'est bien $p i$ /4 , mais pas pour les raisons que tu avances

cosθ = a/(a√2) = 1/√2 = √2/(√2*√2) = √2/2

idem pour sinθ

Donc θ = $p i$ /4

Tes démonstrations suivantes sont aussi fausses !

C'est dommage de faire ainsi pour le a). Tu fais 4 fois la même démonstration alors que si tu l'as fait pour (x,y) tu n'a plus qu'à appliqué bêtement la formule générale et hop.
Une fois que tu as trouvé r pour (x,y) tu as le r de tous les autres (c'est le même) et le θ, tu as une formule immédiate.
Tu ne fais aucune erreur de raisonnement. Tu ne fais que des erreurs de calculs. Pourquoi choisir la méthode la plus calculatoire ? C'est pour les bœufs ça.
De plus la démonstration dans le cas général ne demande quasiment pas de calculs alors qu'avec des cas particuliers c'est plus calculatoire donc carrément plus difficile. En effet, les calculs sont la pire source d'erreur en maths d'autant que, contrairement à un raisonnement, tu peux quasiment pas les relire (il y a toujours un "-" qui traine tu sais pas pourquoi).

J'ai 12 heures de cours de maths par semaine, je bosse mes maths jour et nuit (le reste du temps je fais de la physique, et la physique que je fais, c'est des maths), et je ne suis pas spécialement mauvais à ce que je fais. Et pourtant je ne sais pas calculer, je déteste calculer, je ne calcul que sous la torture (ça fait longtemps que j'ai totalement oublié mes tables de multiplication ;).

Oui mais je préfère bien détaillé pour la première fois !

Non en fait je me suis trompé voila ma réponse :

a) x = y = a

¤ (x,y) => (a,a)

On a r = √(a²+a²) = √(2a²) = a√2

cos θ1 = (x/r) = a/a√2 = 1/√2 = √2/2
sin θ1 = (y/r) = a/a√2 = 1/√2 = √2/2

θ = pi/4

Les coordonnées polaires sont donc (a√2 ; pi/4)

¤(-x,y) => (-a,a)

On a r = √(-a²+a²) = √(2a²) = a√2

cos θ = (-x/r) = -a/a√2 = - cos θ1 = -√2/2
sin θ = (y/r) = a/a√2 = 1/√2 = √2/2

θ = 3pi/4

Les coordonnées polaires sont donc (a√2 ; 3pi/4)

¤(x,-y) => (a,-a)

On a r = √(a²+(-a²)) = √(2a²) = a√2

cos θ = (x/r) = a/a√2 = 1/√2 = √2/2
sin θ = (-y/r) = -a/a√2 = - sin θ1 = -√2/2

θ = -pi/4

Les coordonnées polaires sont donc (a√2 ; -pi/4)

¤(-x,-y) => (-a,-a)

On a r = √(-a²+(-a²)) = √(2a²) = a√2

cos θ = (-x/r) = -a/a√2 = - cos θ1 = -√2/2
sin θ = (-y/r) = -a/a√2 = - sin θ1 = -√2/2

θ = -3pi/4

Les coordonnées polaires sont donc (a√2 ; -3pi/4)

Voila est-ce que tout est juste ??

UP s'il vous plait une réponse !

Tu vois, tu demandes si tes calculs sont juste. C'est exactement ce que je disais. Ça ne se vérifie pas des calculs on ne peut que : les relire (inutile mais on le fait tout de même pour la forme), vérifier que le résultat est juste (si on le connait par ailleurs), refaire les calculs voir si tu obtient de nouveau le même résultat (et tu passes de 12 à 24 calculs).

Ta méthode n'est pas plus détaillée, tout au contraire tu mets beaucoup moins de détails juste tu les écris 4 fois au lieu d'une. Au final tu prend plus de temps (et de place) pour en démontrer moins de manière moins précise et moins rigoureuse.

En première et en terminale la justesse de tes calculs compte moins que la justesse et la judiciosité de ton raisonnement. On s'en fout que tes calculs soient justes et si tu as tout de même peur de faire des calculs faux ; n'en fait pas. Si tu démontre tout sans faire de calculs, t'as tous points de calcul.

S321
Au final tu prend plus de temps (et de place) pour en démontrer moins de manière moins précise et moins rigoureuse.

ça veut dire que c'est pas juste ? Est-ce que mer résultats et mon raisonnement sont juste ? merci

Les résultats sont sans doute juste, du moins ils paraissent cohérents mais encore faut-il se demander comment les interpréter, comment les comprendre. Si tu peux interpréter un résultat, il y a de fortes chances qu'il soit juste.
Mais je ne vais pas vérifier tes calculs alors que je trouve stupide de les avoir fait. D'ailleurs toi non plus ne les vérifie pas puisque tu demandes qu'on te le fasses. Ça montre bien à quel point c'est chiant de vérifier des calculs.

Pour ce qui est de ton raisonnement, dans l'ensemble il est bon. Pour quelqu'un en première ça m'a l'air tout à fait acceptable. Mais il n'est pas parfaitement rigoureux ni parfaitement précis.
La rigueur c'est le fait d'en dire le plus possible, de ne laisser passer aucun détail, aucune ambiguïté ou abus de langage.
La précision c'est le fait de ne rien dire de superflue.
Concilier les deux, c'est un art.

Dans ton cas par exemple pour ce qui est de la rigueur tu laisses entendre que les angles ne peuvent prendre qu'une seule valeur alors qu'ils ne sont définis qu'à 2π près. Ainsi quelques relations de congruence au lieu d'égalités seraient plus adaptées.
Tu dis "les coordonnées polaires sont" alors qu'en fait ce serait plutôt "un jeu de coordonnées polaires est".
Il y a aussi des détails dont tous le monde se fout comme le fait de démontrer à chaque fois que tu mets une racine carrée que ce qu'il y a en dessous est positif (d'ailleurs à ce propos (-a²)≠(-a)² et tu as écris l'un à la place de l'autre)... etc.

C'est impossible de faire un raisonnement parfait (sauf peut-être en mathématiques formels).

S321
Les résultats sont sans doute juste, du moins ils paraissent cohérents mais encore faut-il se demander comment les interpréter, comment les comprendre. Si tu peux interpréter un résultat, il y a de fortes chances qu'il soit juste.
Mais je ne vais pas vérifier tes calculs alors que je trouve stupide de les avoir fait. D'ailleurs toi non plus ne les vérifie pas puisque tu demandes qu'on te le fasses. Ça montre bien à quel point c'est chiant de vérifier des calculs.

Pour ce qui est de ton raisonnement, dans l'ensemble il est bon. Pour quelqu'un en première ça m'a l'air tout à fait acceptable. Mais il n'est pas parfaitement rigoureux ni parfaitement précis.
La rigueur c'est le fait d'en dire le plus possible, de ne laisser passer aucun détail, aucune ambiguïté ou abus de langage.
La précision c'est le fait de ne rien dire de superflue.
Concilier les deux, c'est un art.

Dans ton cas par exemple pour ce qui est de la rigueur tu laisses entendre que les angles ne peuvent prendre qu'une seule valeur alors qu'ils ne sont définis qu'à 2π près. Ainsi quelques relations de congruence au lieu d'égalités seraient plus adaptées.
Tu dis "les coordonnées polaires sont" alors qu'en fait ce serait plutôt "un jeu de coordonnées polaires est".
Il y a aussi des détails dont tous le monde se fout comme le fait de démontrer à chaque fois que tu mets une racine carrée que ce qu'il y a en dessous est positif (d'ailleurs à ce propos (-a²)≠(-a)² et tu as écris l'un à la place de l'autre)... etc.

C'est impossible de faire un raisonnement parfait (sauf peut-être en mathématiques formels).

C'est gentil de m'expliquer tout ça mais je voudrai juste savoir si c'est juste !