suites numériques!!!

bonsoir!!!!

j'ai un problème que j'arrive pas à résoudre
j'ai essayé avec la récurrence mais en vain!!! ...

la suite numérique est la suivante:

$un+1=5+un−un2+9u_{n+1}=5+u_n-\sqrt{u_n^2+9}$

on suppose que U_0∈]0 ; 4[,

et pour tout n ∈{N} on a U_n∈]0 ; 4[... et on doit montrer que:

$4−un+1≤0,5×(4−un)4-u_{n+1}\leq0,5\times(4-u_n)$
pour tout n ∈N

merci pour vos réponses!!

Bonsoir.
Il nous manque $u_0$ peut être, ou alors plus d'infos sur la suite.
En tout cas la récurrence, ici, je dis non. Ça ressemble pas à un problème à récurrer, de toutes façons la récurrence c'est vraiment un dernier recours quand rien d'autre ne marche.

Dans ton cas, tu dois montrer :
$4-u_{n+1}$ ≤ $2-u_n$ /2
déjà tu peux remplacer $u_{n+1}$ par l'expression qui le définit et tu dois donc montrer
$1-u_n$ +√ $(u$ _n $^2$ +9)≤ $2-u_n$ /2
c'est à dire
√ $(u$ _n $^2$ +9)≤ $3+u_n$ /2
Le membre de gauche est positif, c'est une racine, donc le membre de droite aussi donc tu peux élever au carré (quand tu fera la démonstration tu le fera en partant du bas et en remontant, il vaut mieux montrer en sens direct, donc tu prendras la racine carrée).
Ensuite en réarrangeant ça te donne que tu dois montrer que :
$3 u$ _n$$^2$-6u_n$≤0

Après suivant ce que tu sais de la suite $(u$ n$){n∈$\mathbb {n}$}$ tu montre que cette expression est toujours vraie. Si $u_n$ est toujours de même signe tu peux même le mettre en facteur et le simplifier.

merci pour la réponse;j'ai refait ton travail mais j'ai trouvé à la fin qu'on doit montrer:
3U_n^2-12U_n≤0;
on met en facteur U_n et le problème est résolu.
merci pour ton aide.