équation différentielle !!

Salut, voilà je bloc sur un exercice sur des équations différentielles. Pouvez m'aider s'il vous plait !!!

λ désigne un réel de l'intervalle ]o;1]
1°) on se propose d'étudier les fonctions dérivables sur ] - ∞ ; 1/2 [ vérifiant l'équation différentielle (Eλ) : y' = y² + λy et la condition y(0)=1.
On suppose qu'il existe une solution y(0) de (Eλ) strictement positive sur
] - ∞ ; 1/2 [ et on pose sur ] - ∞ ; 1/2 [ : z= 1/y(0)
Ecrire une équation différentielle simple satisfaite par la fonction z.

2°) Près-requis: Les solutions de l'équation différentielle y' = -λ y sont les fonctions f telles que f(x) = C e ^ (-λx) , où C est une constante réelle.

a) Démontrer l'existence et l'unicité de la solution z de l'équation différentielle : (E'λ) : z'= -(λz+1) telle que z(o)=1

b)Donner l'expression de cette fonction que l'on notera z0 (0 est en indice)

On veut montrer maitenant que la fonction z0 ne s'annule pas sur l'intervalle
] - ∞ ; 1/2 [

j'ai enfin réusit la question 1) on la fait avec un amis en étude aujourd'hui !

on sait que z est dérivable sur ] - ∞ ; 1/2 [
z= 1/y(0) donc z' = − y'0/ y²0
DE plus y0 est solution de (E) donc y'0= y²0 + λy
donc on obtien en remplacent y0
-(y0² + λy0)/y²0
-y0 ( y0 + λ)/ y²0

y0 - λ / y0
-1 - λ x (1/y0)
Donc on a -1 -λz est une équation différentielle simple satisfaite par la fonction z

J'ai trouvé la même chose. Par contre.. l'exercice tu l'as pas mis en entier si ? Parce que si tu ne l'as pas mis en entier, j'veux bien que tu m'donnes une piste pour le 3/a)
Merci d'avance

Là 3. a. c'est Démontrer que ln(1 + λ ) > λ / λ + 1

Il faut que tu étudi la fonction f(x) = ln(1 + x ) − x / x + 1
fait sa dérivé puis étudi le signe de la dérivée , tu en conclut le sens de varition de f et son signe .
voila si tu veut plus de détaille nésite pas j'ai réussit l'exo en entier je pense qu'il est bon

Oui mais une fois que j'ai fait la dérivée et que je sais le sens de variations de f et son signe, comment est ce que j'en déduis que
ln(1+ λ) > λ / λ + 1 .. ?
Encore merci basketflorian

Salut,

eh ... bien que te dire ... c'est immédiat :

f(x) = ln(1 + x ) − x / (x + 1) > 0 ⇔ ln(1 + x ) > x / (x + 1)

Thierry ta donné la réponse