dm fonctions et exponentielle



  • m est en réel, on note fm la fonction définie sur R par
    fm(x)=m exp(2x) -4x² et Cm sa courbe représentative dans un repère orthonormal(O, i, j).
    L'objet du problème est d'étudier la famille des fonctions fm ainsi définie.

    A. 1)a. Démontrez que par un point M(x0, y0)donné, il passe une courbe Cm et une seule.

    b. Démontrez que pour tout réel a fixé, l'ordonnée du point de Cm d'abscisse a est une fonction croissante de m.

    2)a. Vérifiez, pour tout réel x, que:
    f'm(x)= 2 exp(2x) [m-4x exp(-2x)]

    b. Déduisez-en que le signe de f'm(x) est le même que celui de
    m-4x exp(-2x)

    3)a. Etudiez les variations de la fonction γ définie sur R par
    γ(x)= 4x exp(-2x) et construisez sa courbe représentative Γ.

    b. Déduisez le signe de f'm(x) de la question précédente.

    4)a. Etudiez les variations de fm dans chacun des cas suivants:
    m > 2/e
    m = 2/e
    0 < m < 2/e
    m = 0
    m < 0

    B L'étude précédente prouve que, selon la valeur de m, la courbe Cm possède au plus deux points en lequels la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.

    1)a. Si Sm est l'un des ces points de coordonnées (X,Y), démontrez que:
    4X exp(-2X) = m et Y = m exp(2X) - 4X²

    b. Déduisez-en que les points Sm appartiennent à une parabole P. Donnez-en une équation cartésienne.

    1. Réciproquement, tout point de la parabole P est-il un point Sm?

    3)a. On note Km le point d'intersection de la courbe Cm et le l'axe des ordonnées. Démontrez que la tangente à Cm en Km passe par un point fixe l. Précisez ce point.

    b. Dans un répère (O, i, j) (unité graphique 4cm):
    Tracez la parabole P, placez le point l puis tracez les courbes C0, C2/e, C-1, C1/2, C1.
    Tracez la courbe Cm passant par le point A de coordonnées (1;0).

    Voilà, je ne comprend rien du tout si vous pouviez me donner un coup de main ça serai cool.
    Merci



  • pour un point ( x0; y0) donné on a :
    meme^{2x_0$}$ 4x-4x_0$$^2$=y_0$
    ce qui donne m = (y(y_0+4x+4x_0$$^2$)/(e$^{2x_0$}$)

    or ee^{2x_0$}$ ≠0
    donc il existe tjs une valeur de m pour que, pour un point ( x0; y0) donné, la courbe passe par ce point



  • Bjr,

    a) et cette valeur m est unique

    b) Pour un réel a donné, l’ordonnée du point de Cm est de la forme f(a), c’est à dire :

    m.e2ae^{2a} – 4a²

    Soit g la fonction
    g: m --> m.e2ae^{2a} – 4a² (a étant un réel)

    g(m) = k.m + l avec k = e2ae^{2a} et l = -4a²
    C’est l’équation d’une droite de coef directeur k = e2ae^{2a}

    Si le coef dir est positif, g est croissante, si négatif, décroissante.

    à toi de poursuivre.

    Tu peux faire aussi g’(m)=e2a(m)=e^{2a} et étudier son signe.
    Attention pour un a choisi, exp(2a) est une constante, la variable ici est ‘’m’’.

    La suite est plus traditionnelle il me semble.

    Bon courage


 

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