Exercice sur les suites/fonctions



  • Re-bonjour! 🙂 de si bon matin 🙂
    L'étude des fonctions est de loin ce que j'aime le moins. Surement car je ne vois rien. Pour cet exercice, j'ai pourtant essayé de faire des réponses "types" mais qui ne sont pas celles attendues selon mon professeur. Je viens donc vous demander de l'aide!

    Exercice 2 :
    On désigne par fnf_n (n entier naturel non nul) la fonction définie sur (0; +∞( par :
    fnf_n(x)=(∑$$_{k=1}$x^k$)-1.

    Le but de cet exercice est d'étudier la suite construite à partir des solutions de l'équations fnf_n(x)=0.

    1. Démontrer que pour tout entier naturel non nul, l'équation fnf_n(x)=0 admet sur (0;1) une unique solutions. Cette solution est notée unu_n.
    2. Calculer u1u_1 et u2u_2.
    3. Démontrer que 0< unu_n <1 pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2.
    4. Etablir que, pour tout entier naturel n non nul : f n+1_{n+1} (x)> f <em>n<em>n (x) pour tout réel strictement positif.
      En déduire que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2: f </em>n+1</em>{n+1} (u <em>n<em>n ) > 0 puis, par un raisonnement par l'absurde, que : u </em>n+1</em>{n+1} < u n_n.
    5. Démontrer que la suite ( u n_n ) est convergente.
    6. Démontrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2 : 0 ≤ u n_n n+1^{n+1} ≤ u 2_2 n+1^{n+1}.
      En déduire que lim(n→+∞)u n_n n+1^{n+1} =0
    7. Démontrer que pour tout réel x différent de 1 et pour tout entier n non nul :
      f n_n (x) = (-x n+1^{n+1} +2x-1)/(1-x).
    8. En déduire que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 : u n_n n+1^{n+1} =2u n_n -1 puis déterminer la limite de la suite (u n_n ).


  • Bonjour,

    1. calculer la dérivée de fnf_n.
      montrer que fnf_n est croissante
      calculer fnf_n(0) et fnf_n(1)
      appliquer le théorème des valeurs intermédiaires

    2. cela devrait être faisable de savoir quand

    f1f_1(x) = x - 1 s'annule

    f2f_2(x) = x² + x - 1 s'annule

    1. appliquer la question 1

    2. fn+1f_{n+1}(x) = xn+1x^{n+1} + fnf_n(x)

    Pour la suite tu me dis où tu en es !


 

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