[1èreS] DM sur les fonctions...

Bonjour à tous, je suis totalement perdu pour ce DM, je n'y comprends vraiment rien si on pouvait m'aider (avec des explications détaillées svp, parce que les maths pour moi c'est comment dire... Je n'y comprends rien enfaite...)

MERCI BEAUCOUP ^^

Voilà l'énoncé :

PROBLEME DE RACCORDEMENT DE COURBES

Pour faire franchir à des chariots une marche de deux mètres de haut, sur une distance horizontale de cinq mètres, on cherche à construire un tobbogan.
La courbe C, qui est une vue en coupe du tobbogan, doit obéir aux contraintes suivantes:
-la courbe contient les points 1, B et le milieu I de [AB]
-la fonction définissant la courbe dans le repère (A,i,j) est dérivable
-les demi-tangentes en A et B sont horizontales (pour se raccorder sans "angle" avec le plan du sol).

I. Recherche de fonctions polynômes du second degré
On cherche deux arcs AI et IB de deux paraboles se raccordant en I.
1- Montrer qu'il existe une unique fonction polynôme du second degré : f(x)= ax² + bx + c, répondant aux conditions précédentes, telle que l'arc AI soit un arc de la parabole représentant f.
2- De même, montrer qu'il existe une unique fonction polynôme du second degré g, répondant aux conditions précédentes, telle que l'arc IB soit un arc de la parabole représentant g.
On considère la courbe C qui est la réunion des deux arcs de paraboles AI et IB.
3- Démontrer que la demi-tangente à gauche et la demi-tangente à droite en I sont contenues dans la même droite (cela signifie que les nombres dérivés à gauche et à droite en I sont égaux). La courbe C convient-elle ?

II. Recherche d'une fonction polynôme du troisième degré
Démontrer qu'il existe une unique fonction polynôme du troisième degré f(x)=ax3 +bx² + cx + d
répondant aux conditions précédentes.

III. Recherche de la pente maximal
La pente en un point de la courbe est le coefficient directeur de la tangente à C en ce point.
1- Dans le cas I. de la réunion de deux arcs de paraboles, déterminer la pente maximale.
2- Dans le cas II. de la courbe du troisième degré, déterminer la pente maximale.
3- On veut, de plus, que l'angle aigu de la tangente avec la droite horizontale (AC) n'excède pas 35°. Les deux courbes précédentes conviennent-elles ?

Indications: Si le coefficient directeur d'une droite est m, l'angle a que fait la droite avec la droite horizontale vérifie tan a = m.

Bonsoir.
C'est un devoir plutôt sympathique que tu as là. On va voir ce qu'on peut faire.

Donc déjà, comme ce n'est pas dit, je vais prendre A pour origine du repère. Donc les coordonnées des points sont A(0;0), B(5;2) et I(5/2;1).

I
Pour la première question, en décortiquant le problème tu veux une fonction polynôme qui répond à certains critères.
Tu as f(x)=ax²+bx+c et tu veux déterminer a, b et c (ce qui détermine entièrement la fonction polynôme). Tu as donc 3 inconnus, il te faut 3 équations. Heureusement, parmi les données de l'énoncé sont cachés trois critères.

"L'arc AI est un arc de la parabole" ce qui veut donc dire que les points A et I appartiennent à la courbe donc f(0)=0 et f(5/2)=1. En remplaçant f(0) et f(5/2) par leurs expressions tu as déjà deux équations.
"la demi-tangente en A est horizontale". Cette phrase signifie que la dérivée à f en 0 est nulle.
f'(0)=0
En dérivant f(x)=ax²+bx+c tu as donc ta troisième équation.

La question 2 c'est exactement la même chose.

Pour la question 3 tu va avoir les expressions exactes de f'(x) et de g'(x) (sans inconnue restante). En regardant ce que ces quantités valent en 5/2, abscisse de I, tu as les coefficients directeurs des deux demi-droites dont il est question. Si f'(5/2)=g'(5/2) ...

II
Maintenant, tu as $f(x)=ax^3$ +bx²+cx+d ce qui fait donc 4 inconnues mais f doit être telles que :

f(0)=0 (passe par A)
f(5)=2
f(5/2)=1
f'(0)=0 (tangente horizontale en A)
f'(5)=0
Ce qui fait donc 5 équations. Peut-être que deux d'entre elles sont équivalentes ou alors 4 d'entre elles vont suffire (mais dans ce cas la dernière permet de vérifier).

III
Dommage que tu n'ai pas les arguments de convexité/concavité, ça irait très vite ;).
Dans la première question, tu connais la pente de la courbe, c'est f'(x) pour x<5/2 et g'(x) pour x>5/2.
Tu peux donc dériver f' et g' ce qui te donnera f''(x) et g''(x) (normalement ça devrait être des constantes avec f''(x)>0 et g''(x)<0) tu peux donc en déduire un tableau de variations de la pente à la courbe. Ça te donneras que cette pente admet un maximum en un certains point.

Pour la deuxième question, pareil tu construit la tableau de variation de f' ce qui en fera apparaitre un maximum.

Enfin il ne te reste plus qu'à voir dans les deux cas quel est le coefficient directeur maximal des pentes de la courbe et, sachant qu'il est égale à la tangente de l'angle recherché, à déterminer quel est donc l'angle dont il est question.

Merci à toi d'avoir pris le temps de me répondre, je vais essayer avec ça. Je te donnerais mes réponses ensuite pour voir ^^
MERCI

J'ai un problème.
J'ai trouvé pour la première équation, mais je n'arrive pas pour la deuxième. Enfaite je trouve pas les inconnus a, b et c... (à moins qu'il faut utiliser les mêmes valeurs que pour l'équation précédente ?)
Tu pourrais m'aider stp ^^ merci

Personne ? C'est pour demain, j'ai absolument besoin d'aide. Je ne trouve pas les valeurs de a,b et c pour la question 2 du I.

Bon, je n'arrive pas la question 2 donc je m'essaye au II.
Les deux équations équivalentes sont f'(0)=0 et f'(5)=0 je pense non ?
Donc on utilise f(0)=0 , f(5)=2 , f(5/2)=1 , f'(0)=0. Et comment on continue ?

On remplace x par 0 , 5 , 3/5 dans f(x) et dans f '(x) selon ce qui est utile !

Cela devrait donner un certain nombre d'équations à résoudre pour obtenir la valeur d'un certain nombre d'inconnues !

Il me semble que ce sujet a déjà été traité ici. Utilise la fonction "Recherches" dans l cadre de gauche !