nombre complexes + suites


  • C

    Bonjour à tous le monde !!

    La suite de nombres complexes (zn(z_n(zn) est définie par z0z_0z0=4 et pour tout entier naturel n, zn+1=12(1+i)znz_{n+1}=\frac{1}{2}\left(1+i\right)z_{n}zn+1=21(1+i)zn

    1. Trouver le module et un argument de z1z_1z1
      ,z2z_2z2,z3z_3z3,z4z_4z4,z5z_5z5

    J'ai trouver : ∣z1∣=22\mid z_{1}\mid=2\sqrt{2}z1=22 et arg(z)=π4arg(z)=\frac{\pi}{4}arg(z)=4π
    ∣z2∣=2\mid z_{2}\mid=2z2=2 et arg(z2)=π2arg(z_{2})=\frac{\pi}{2}arg(z2)=2π

    ∣z3∣=2\mid z_{3}\mid=\sqrt{2}z3=2 et arg(z3)=3π4arg(z_{3})=\frac{3\pi}{4}arg(z3)=43π

    ∣z4∣=1\mid z_{4}\mid=1z4=1 et arg(z4)=πarg(z_{4})=\piarg(z4)=π

    ∣z5∣=12\mid z_{5}\mid=\frac{1}{\sqrt{2}}z5=21 et arg(z4)=−3π4arg(z_{4})=\frac{-3\pi }{4}arg(z4)=43π

    1. Pour tout entier naturel n, on pose :δn=∣zn+1−zn∣\delta_{n}=\mid z_{n+1}-z_{n}\midδn=zn+1zn

    a.) Calculer δn+1\delta_{n+1}δn+1 en fonction de δn\delta_{n}δn

    b.) Démontrer que la suite (δn\delta_{n}δn) est géométrique, préciser son premier terme et sa raison.

    c.) Calculer δn\delta_{n}δn en fonction de n et déduisez en l'entier n0n_{0}n0 tel que lorsque n≥n0n\geq n_{0}nn0, <img style="vertical-align:middle;" alt="\Delta_{n}<10^{-2}" title="\Delta_{n}<10^{-2}" src="http://www.mathforu.com/cgi-bin/mimetex.cgi?\Delta_{n}<10^{-2}">

    Merci d'avance pour votre aide !


  • N
    Modérateurs

    Calcule Z(n+1) - Z(n) , puis Delta n et Delta (n+1)


  • L

    2a) Exprime d'une part zn+2z_{n+2}zn+2 en fonction de zn+1z_{n+1}zn+1 et d'autre part zn+1z_{n+1}zn+1 en fonction de znz_nzn. Déduis-en Δn+1_{n+1}n+1 en fonction de Δn_nn.

    2b) Exprime Δ<em>n<em>n<em>n en fonction de Δ</em>n−1</em>{n-1}</em>n1 grâce à 2a) puis, dans l'expression obtenue, Δ<em>n−1<em>{n-1}<em>n1 en fonction de Δ</em>n−2</em>{n-2}</em>n2. Répète l'opération jusqu'à avoir Δn_nn en fonction de Δ0_00.

    2c) Utilise la fonction log (log(n)=ln(n)/ln(10)) qui est strictement croissante (donc préserve les inégalités strictes) et qui vérifie log(xnlog(x^nlog(xn)=n*log(x). Enfin la fonction partie entière peut t'être utile si tu n'as pas de calculatrice sous la main pour exprimer n0n_0n0.

    J'espère t'avoir aidé...


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