Calculs sur des nombres complexes

Bonjour ,
z= (√6+√2)+i(√6-√2)

calculé z² .
g trouvé 4+4√3 mais il me semble que c'est faux car j'ai fait : (√6+√2)²+i²(√6-√2)² .j'ai hésité je sais pas s'il faut faire (a+b)² dans ce cas ? puis avoir de l'aide ?.
Merci d'avance

Après j'ai essayé en fesant(a+b)² en prenant a= √6+√2 b=i(√6-√2) et j'ai trouvé 8√3+4i est ce que c'est bon svp ?

salut

$(6+2+i(6−2))2\left(\sqrt6+\sqrt2+i(\sqrt6-\sqrt2)\right)^2$

doit bien entendu être développé avec l'identité (a+b)².

sauf erreur, cela donne avec i² = -1

$(6+2)2+2i(6+2)(6−2)−(6−2)2\left(\sqrt6+\sqrt2\right)^2 + 2i\left(\sqrt6+\sqrt2\right) \left(\sqrt6-\sqrt2\right) - \left(\sqrt6-\sqrt2\right)^2$

et enfin

$8 + 2\sqrt{12} + 2i(6-2) - 8 + 2\sqrt{12} = \fbox{8\sqrt3 + 8i}$

Merci beaucoup

Bonsoir,
quand je calcul le modul et argument de z² pour trouver modul et argument de z il faut diviser par deux c'est ça ?
Et puis aprè je dois déterminer les entiers n tels que z^n soit un imaginaire mais je ne comprend pas du tout cette question pouvez vous m'aider ?
Merci d'avance

Attention |z z'| =|z| . |z'| ; donc |z²| = ... (pas 2|z| )

Par contre arg(zz') = arg(z) + arg(z') ; donc arg (z²) = 2 arg(z)

P.S. Ici on écrit en français et non dans le simili jargon que tu utilises !

Donc le module de z² est égal au module de z multiplié par le module de z ?donc il faut divisé le module de z² par z ? et pour l'argument : l'argument de z est égal à l'argument de z divisé par 2 ?

j'ai compris ! j'ai trouvé 4 pour le module de z et pi/12 pr l'argument de z. Mais pour la question d'après je bloque pouvez vous m'aider svp ?
Déterminer les entiers n tels que z^n soit un imaginaire

Bonjour

Si z^n n'est pas imaginaire, alors z^n est ??

réel

mais il faut que ce soit imaginaire et non réel je ne comprend pas le sens de votre question excusez moi pouvez vous m'éclaircir les idées svp???

oui et s'il est réel, que peut on dire du sin (argz) ?

s'il est réel sin arg(z) est nul je crois

Oui donc il faut un angle dont le sinus est nul.

pour pi comme angle sin est nul mais je ne comprend toujours pas pourquoi sin doit être nul la question est : trouver les entiers n tels que z^n soit un imaginaire ???

Si tu trouves les valeurs de n pour lesquelles z est réel, les autres valeurs de n donneront z imaginaire.

z n'est pas réel pour les angles pi/2 et -pi/2 dc les entiers n tels que z^n soit imaginaire sont pi , pi/6,pi/4,pi/3, pi/2 c'est bien cela ?

C'est z^n qu'il faut étudier.

je cherche depuis hier mais je ne comprend pas

Tu as trouvé z = [4 ; pi/12]
écris z^n

oui c'est ce que j'ai trouvé, cepandant pour le z^n je ne comprend pas c'est z² qu'il faut prendre avec n = 2 ? je pense que ça ne peut pas être ça car justement il faur trouver n .
z^n= (a+ib)^n ?

Quel est le module et l'argument de z^n ?

j'ai trouvé 4 pour le module mais après ça dépend avec puissance n

pour n=2 on a trouvé 8i+8√3 donc pour n= 1, 2 ,3 z^n est un imaginaire c'est ça ?

Le module est 4^n et l'argument n pi/12.
Il faut résoudre n pi/12 = k pi.

excusez moi , mais comme j'ai d'énormes difficultées en math je ne comprend toujours pas , d'où vient le k devant pi ?

désolé encore mon niveau n'est vraiment pas au top , au contraire :frowning2:

Le k c'est pour indiquer toutes les valeurs qui annulent le sinus.

z^n est imaginaire si son argument vaut pi/2 je crois puisque qu'il est imaginaire et nul pour cos donc non réel

donc c pi/2 modulo pi ?

z^n est réel si n pi/12 = k pi

vous vous êtes trompé je crois , c'est imaginaire si n(pi/12) = k pi et non réel ????

si l'argument = kpi
cos(kpi) = 1 et sin(kpi) = 0 donc z = a réel

je ne comprend toujours pas pourquoi vous parlez de réel la question est en rapport avec imaginaire

donc l'argument doit être égal a k pi/2 ?

Bonjour,

Vous faites du ping-pong

Z^n = [4^n ; n pi/12]

Z^n est imaginaire ssi Z^n n’est pas réel <-- C'est ça je pense qui t'échappe !

Or , Z^n est réel ssi arg(Z^n) = k.pi avec k appartient à $mathbb{Z}$

arg(Z^n) = k.pi
n pi/12 = k.pi
n = 12k

n est un entier.

Z^n est réel ssi n est un multiple de 12.

Z^n est donc imaginaire ssi n n’est pasun multiple de 12, c’est à dire :

n appartient à $mathbb{N}$ - {12k} avec k entier naturel

bosse bien ces calculs dans $mathbb{C}$ parce que l’application des complexes qui vient derrière . . . sacrédevindiuouuu !

Merci beaucoup CQFD , c'est vraiment plus clair ! c'est vrai que c'était du ping pong je te l'accorde en effet

Mais pourquoi on a pas fait directement arg(z^n)= k pi/2 puisque pour pi/2 c'est imaginaire ?

Bonjour,

Réponse tardive . . .

On veut que z soit imaginaire, pour cela, il faut et il suffit qu’il ne soit pas réel.

Il me semble que tu confonds imaginaire et imaginaire pur.

Rien ne vaut quelques exemples :

Z1 [ [z| ; 3pi ] est réel

Z2 [ [z| ; 2pi/3 ] est imaginaire (et non réel)

Z3 [ [z| ; -pi/2 ] est imaginaire pur

C’est mieux comme ça ?