3. Problème sur les barycentres

Problème sur les barycentres

  • R

    Bonjour, bonjour 😄
    Voilà mon problème :

    Préciser la position d'un point.
    ABCD est un parallélogramme tel que AB=3 et AD=2.
    On construit les points E,F et G tels que : (en vecteurs) DE=2DB, CF=5CA et BG=3AB.
    H est le point d'intersection des droites (BF) et (CG).
    Le but du problème est de préciser la position de H sur (CG).

    1)Première méthode.

    **a)**Exprimer (en vecteurs) BF,BE et BG uniquement à l'aide des vecteurs BA et BC.

    **b)**Montrer que les poinbts G, E, F sont alignés.

    **c)**Montrer que (en vecteurs) 5BG + 12BC + 3BF = 0
    Que peut-on deduire pour le point B?

    **d)**Montrer que (en vecteurs) CH= 5/17CG

    2)Deuxième méthode : avec l'outil analytique
    On choisit le repère (B;BA,BC).

    **a)**Déduire de la question 1)a) les coordonnées des points E,F,G dans ce repère. En déduire que E,F,G sont alignés.

    **b)**Trouver les équations des droites (BF) et (CG). En déduire les coordonnées de H.

    **c)**Calculer les coordonnées des vecteurs CH et CG, et vérifier le résultat de la question 1)d).

    J'ai déjà un peu réfléchis à l'exercice mais je vous avouerais que j'ai pas mal de difficultés à le résoudre :frowning2: Merci de votre aide!

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    Bonsoir,

    1. a) Utilise la relation de Chasles
      b) Cherche une relation entre vect GE et vect EF
    R 1 réponse
  • R

    merci j'ai pu continué dans l'exercice 😄
    J'en suis au d) de la première partie et je ne vois pas comment je pourrais repondre =/
    Auriez vous une idée?

    N 1 réponse
  • N

    ABCD est un parallélogramme , H et K et L tel que
    DK→ =(α+2) DB→
    Et CL→= α BC→
    Et α est un réel connu
    Et M est l’intersection de (DL) et (CK)
    Montrez que DM→ = (α+2)/( α²+2 α+2) DL→
    La solution que je propose est :
    Soit M’ un point tel que : D M’→ = (α+2)/( α²+2 α+2) DL→
    Donc D M’→ - (α+2)/( α²+2 α+2) DL→ = 0
    Ce qui veut dire ( α²+2 α+2) / ( α²+2 α+2) D M’→ - (α+2) /( α²+2 α+2) DL→ =0
    ( α²+2 α+2) D M’→ - (α+2) DL→ =0
    (α²+2 α+2- α-2)M’D→ = -(α+2)M’L→
    (α²+α) M’D→+(α+2) M’L→ =0
    Donc M’ est barycentre de {(D,α²+α ), (L, α+2)}
    M’ Є (DL)
    D’autre part, on a
    DK→ =(α+2) DB→
    DK→ - (α+2) DB→ =0
    -α DK→+ α(α+2) DB→=0
    Donc en utilisant l’associativité (D,α²+α) est barycentre de {(K,-α), (B,α²+2α)}
    Et aussi : CL→= α BC→

    (1+α)LC→ = α LB→ donc (α+2)(α+1) LC→ - α(α+2)LB→ = 0
    Ce qui veut dire que (L,α+2) est barycentre de {(C, (α+2)(α+1)) , (B, -α ( α+2))}
    On a M’ est barycentre de {(D,α²+α ), (L, α+2)} donc M’ est barycentre de {(C, (α+2)(α+1)) , (B, -α ( α+2)), (K,-α), (B,α²+2α)}
    M’ est barycentre de {(C, (α+2)(α+1)) , (B, -α ( α+2)), (K,-α), (B,α(α+2)) }
    M’ est bary{(C, (α+2)(α+1)) , (K,-α)}
    M’ appartient à (CK)
    On a M’ Є (DL) et M’ Є (CK) donc M’ est l’intersection de (DL) et (CK) donc M’ = M
    Conclusion : DM→ = (α+2)/( α²+2 α+2) DL→

Se connecter pour répondre