Etudier une fonction logarithme népérien

Problème 2 : on sait que pour a et b réels différents on a les égalités a+b=b+a, axb=bxa. On dit que l'addition et la multiplication sur J sont commutatives ! Ce n'est pas le cas pour la soustraction et la division. Est-ce le cas pour l'élévation à la puissance ?Autrement dit est ce que a^b=b^a (E) pour tous réels a et b. Outre une condition que nous aborderons ensuite ? quelques exemples montrent que c'est faux (2^3=/3^2). Mais existe-t'il des couples de réels distincts (à, b) pour lesquels c'est vrai ? La réponse est oui, par exemple le couple (2, 4). Le but de ce problème est l'étude complète de cette question.

I} justifiez que les réels a et b doivent être éléments de ]0 ;+oo[ . Montrez que (E) : ln(a)/a =ln(b)/b.

II} On considère la fonction f définie sur ]0 ;+oc[ par
f(x)=ln(x)/x

établissez les limites de f sur son domaine de définition. Quelles conclusions graphiques peut-on en tirer 7
2, étudiez les variations de f.
résumez les résultats précédents dans un tableau.
démontrez que si (E) est vérifiée ni a, ni b n'est un réel de l'intervalle ] 0 ; 1 [.
5, justifiez que (E) possède des solutions (a,b) vérifiant l < a < e < b. Montrez qu'il existe un seul couple (a,b) constitué d'entiers que l'on déterminera.

réponsse :
I) j'ai ln(a)/a =ln(b)/b ,
bln(a) = aln(b), grasse aux propriétés du logarithmes ln(a)^b=ln(b)^a
aprés je trouve pas ...
II)

pour les limites je trouve des formes indéterminé (0/0) et (+infinie/+infinie)
MERCI

Pour la conclusion graphique(II.1) on trouve que de 0 a 1 la fonction est négatif et de 0 a +infinie elle est positif .

Salut jedei,

skywallker
... on trouve que ...
Vous bossez en groupe ? T’as de la chance. Moi, les potes pompent mes DM . . . s’cassent pas la tête

I)

Avec a et b 2 réels strictement positifs :

ln(a)/a = ln(b)/b

bln(a) = aln(b)

ln(a^b
)= ln(b^a
)⇒ Fait appel à la force Luc !

a^b = b^a car ln est une bijection de $mathbb{R}$ +* dans $mathbb{R}$

II) 1)

Lim en +inf de f = 0+ (Pas besoin je pense de le démontrer)

Lim en 0+ de f est de la forme –inf/0+ donc = -inf ⇒ Fie toi à ton instinct Luc !

(Ce n’est pas une forme indéterminée)

f ’(x) = ( lnx – 1 ) / x²

f ’ s’annule et change de signe pour x = e

Entre 0+ à e, f est croissante de –inf à e
Puis entre e et +inf, f est décroissante de 1/e à 0+
avec un maxi local au point A(e ; 1/e)

(E) a^b = b^a est équivalente à ln(a)/a = ln(b)/b

C’est à dire : f(a) = f(b) avec a ≠ b

F est continue sur Df.

D’après 3) tableau de variation etc . . . cette égalité n’est possible que si :

f(a) > 0 et f(b) > 0 tjrs avec a ≠ b

cad pour a et b n’appartenant pas à ] 0 ; 1 [

Par ex avec a dans ] 1 ; e [ et b dans ] e ; +inf [

C’est bancal comme justification mais rien de mieux à proposer.

Si tu trouves une explication plus rigoureuse en s’appuyant sur la continuité, Th des valeurs intermédiaires ou . . . ça m’intéresserait.

Pour cette question, un exemple devrait suffire à contenter Yoda. Et pourquoi s’user le neurone . . ., il y en a un donné dans l’énoncé :
(I) : 2^4 = 4^2 = 16

(E) : ln(2) / 2 = ln(4) / 4

Le couple ( a ; b ) = ( 2 ; 4 ) vérifie à la fois (I) et (E)

. . . Le plus dur est fait je pense.

Après l’exponentielle et les complexes, le cours sur le log nipeurien tout récent m’a paru simple . . . Il faut pourtant avouer que ton sujet vire du coté obscur.

Que la force soit avec toi jeune skywallker

ok merci beaucoup grand maitre !

Salut Sky,

Tu pousses, même pas padawan ...

Lorsque tu auras la **correction du 4)**ce serait sympa de la poster ici.

Mon but est de progresser également

Merci