exercices sur les suites en terminale STG



  • bonjour,

    j'ai un problème avec mon dm de math enfin surtout avec la derniere question! c'est quand meme bete!
    pouvez-vous svp me corriger mes erreurs... et me les expliquer.

    pour l'ex 1: ( cet exo concerne le chapitre sur les suites )
    on s'interesse a l'evolution de la population d'une ville V et on veut etudier plusieurs modeles d'evolution. en 2005, la population de la ville V est estimée a 10000 habitants.

    1ere hypothese:
    en analysant l'evolution recente, on fait d'abord comme hypothese que la population de la ville V va augmenter de 500 habitants par an.
    on note uo=10000 la population en 2005, et un la population en (2005+n).

    1. a. NATURE de la suite : c'est une suite arithmétique de raison r 500 et de 1er terme uo=10000.

    b.exprimer un en fonction de n: un=10000+500n

    c. en quelle année la population atteindra-t-elle 20000 habitant?
    pour tout n de N: un=10000+500n
    10000=500n
    n=20
    la pop atteindra 20000 hab en 2025

    2eme hypothese:
    on travaille avec l'hypothese d'une augmentation de 4.7% par na. on note vn la population en (2005+n). nous avons alors vo=10000.

    1. a. quelle sera la population en 2006? 2007?
      2006 (v1) = vo x 1,047 = 10000 x 1,047 = 10470
      la pop en 2006 sera de 10470 hab
      2007 = v1 x 1,047 = 10000 x 1,047 = 10962
      la pop en 2007 sera de 10962 hab

    b. NATURE de la suite: c'est une suite géométrique
    Exprimer vn en fonction de n : un= 10000 x 1,047^n ( ^ =puissance)

    c. calculer la population de la ville en 2020.
    pour tout n de N, on a (vn)=10000 x (1,047)^15
    (vn)= 19916
    en 2020, la pop sera de 19916 hab

    en examinat l'evolution de villes comparables, des experts ont estimé que la population de la ville V considérée allait doubler en 15 ans.

    d. le resultat trouver en 2)c) vous parait-il correspondre a ce que pensaien les experts?
    j'ai dit que oui mes résultats correspondent a ce que pensaient les experts car 19916 et 20000 sont a peu près égale.

    e. En quelle année la population dépassera-t-elle 30000 habitant?
    alors la je ne trouve pas du tout ....
    j'ai essayer ceci : pour tout n de N: on a (vn)=10000 x (1,047)^n
    30000=10000 x (1,047)^n
    mais le problème c'est que c'est impossible de trouver la puissance donc....

    merci d'avance de l'aide que chacun pourra m'apporter!
    bisous
    sandrine



  • Bonjour Sandrine,
    Ce que tu as fait m'a l'air juste.
    Par contre pour la question e, ta traduction de l'énoncé n'est pas entièrement exacte. Ce serait plutôt :

    nN,\forall n \in N,

    10000×1.047n3000010000 \times 1.047^n \ge 30000

    As-tu vu en cours la fonction logarithme népérien ?

    Bonne soirée.



  • bonjour, oui j'ai un cour sur les logarithme népérien mais qu'est ce que ça a avoir avec les suites?

    oui c'est vrai que c'est mieux avec le >ou= vu que ça doit dépasser 30000 mais j'ai toujours le même problème, il faut que je trouve une puissance et je ne vois pas comment faire?

    merci
    bonne soirée a toi aussi



  • Ce n'est pas parce que tu fais un exercice sur les suites qu'il faut laisser de côté tout ce que tu as appris dans les autres chapitres. 😉

    Pour simplifier l'inégalité tu pourrais déjà commencer par diviser par 10000.

    La fonction logarithme népérien est une fonction strictement croissante sur ]0;+∞[.
    Donc on peut tranquillement dire que

    Pour a, b > 0
    a > b ⇔ ln a > ln b

    et puis je te rappelle aussi que

    ln(an)=n×lna\ln (a^n) = n\times \ln a

    Tu as compris ?
    Bonne soirée.



  • franchement non j'ai pas bien compri......

    comment je fais apparaitre un ln alors qu'il n'y en a pas?



  • j'ai essayer ça:

    10000 x 1.047n047^n ≥ 30000
    1.047n047^n ≥ 30000
    nln1.047 ≥ ln30000
    n1.047 ≥ 30000

    et ce que la je peux diviser 30000 apr 1.047? car normalement il faut que n soit après 1.047....


  • Modérateurs

    Bonsoir,

    Pour la résolution d'équation de la forme a^x = b, avec a et b >0, on utilise la fonction ln
    en posant lna^x = lnb, et on utilise la relation lna^x = xlna
    soit à résoudre x lna = lnb
    donc x = ......


  • Modérateurs

    Pour résoudre
    10000 x 1.047^n ≥ 30000
    On commence par diviser par 10000
    Soit à résoudre 1,047^n ≥30000/10000
    ou 1,047^n ≥3
    puis ln1,047^n ≥ln3
    ...
    Je te laisse poursuivre



  • ça revient pas a ce que j'ai fait dans ma reponse precedente? car je retombe sur la meme chose c'est a dire n1.047 ≥ 30000

    est ce que je fais: 30000÷1.047?


  • Modérateurs

    Non,
    tu as : 1,047^n ≥3
    puis ln1,047^n ≥ln3
    comme ln1,047 > 0, alors
    n > ln3 / ln1,047

    je te laisse faire le calcul.



  • alors je trouve nln1.047 ≥ ln 3
    n1.047 ≥ 3

    mais la je peux pas diviser 3 par 1.047 car n est avant 1.047....alors qu'est ce que je peux faire?


  • Modérateurs

    Regarde mon dernier post.



  • ça fait n> ln3/ln1.047
    n > 3/1.047
    n> 2.865



  • c'est opas possible ça peut pas etre ça!


  • Modérateurs

    Non
    ça fait n> ln3/ln1.047, or ln3/ln1,047 = 23,9108
    Soit n > 23,9108



  • j'ai compri mais ja'i quand meme une question..

    pourquoi on ne peut pas faire 3/1.047 car dans une propriété si lna>lnb alors a>b ?


  • Modérateurs

    ici tu résous une inéquation :
    ax >b avec a >0, soit x > b/a.



  • ok ok merci!

    donc ma reponse a la derniere question est que : la population depassera les 30000 en 2005 + 24 soit en 2029.


  • Modérateurs

    c'est la réponse.



  • d'accord 😄

    Merci beaucoup de votre aide et de votre patience! 😄

    Bonne soirée


  • Modérateurs

    Bonne soirée.


 

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