suite sinus

[Kashgar]

Bonjour
On me demande de montrer que la somme
Sn = sin(Π/n) + sin(2Π/n) + ... + sin((n-1)Π/n) avec Π=pi
est égale à
Sn= cos(Π/2n) / sin(Π/2n).

J'ai essayé 2 pistes mais sans réussir à conclure:
1- Sn = 2 sin(3Π/2n)cos(Π/2n) + ... + 2 sin(3Π/2n)cos(Π/2n)
obtenue avec les formules trigo de somme et produit et simplifications
sin((n-2)Π/n) + sin((n-1)Π/n) = 2 sin(3Π/2n)cos(Π/2n)
après je constate qu'il n'y a plus que (n-1)/2 termes et j'obtiens
Sn = 2(n-1)( sin(3Π/2n)cos(Π/2n) )/2
Sn = cos(Π/2n) x (n-1) sin(3Π/2n) et là, je coince...

2- Je n'arrive pas à écrire les formules en LaTeX pour expliquer
ce que j'ai fait. Voici cependant l'idée:
Sn est aussi égale à la partie imaginaire de la somme de k=1 à n-1
de l'exponentielle exposant ikΠ/n, ce qui en fait une suite géométrique
de raison exponentielle exposant ikΠ/n sur laquelle on peut appliquer
la formule de la somme d'une suite géométrique.
Je trouve alors Sn = Img((2 exp^iΠ/n)/(1- exp^iΠ/n)).
Et là aussi, je suis un peu coincé.
J'ai développé en posant exp^iΠ/n = cos(Π/n)+i sin(Π/n)
en rendant le dénominateur réel pour pouvoir avoir la partie imaginaire
de Sn mais j'arrive à une expression encore sans issue pour moi ...

Merci de bien vouloir éclairer mes lacunes.
A bientôt et bonnes maths à tous.

[Zauctore]

slt

A. essaie de factoriser par ${\text{e}}^{\text{i}\frac{\pi }{2n}}$ en forçant l'apparition de ce facteur ; puis vois avec les formules d'Euler.

B. en latex voici :
$s_n=\sin \frac{\pi }{n}+\sin \frac{2\pi }{n}+\cdots +\sin \frac{(n-1)\pi }{n}$
dont le code est

S_n = \sin\frac{\pi}n + \sin\frac{2\pi}n + \cdots + \sin\frac{(n-1)\pi}n

et pour la 2e partie, voici :
$s_n=\text{im}\left({\sum }_{k=1}^{n-1},{\text{e}}^{\text{i}\frac{k\pi }{n}}\right)$
dont le code est

S_n = \text{Im} \left( \sum_{k=1}^{n-1} , \text{e}^{\text{i} \frac{k\pi}{n}} \right)

[Kashgar]

Bonjour
Merci beaucoup Zauctore, en faisant comme tu le suggerais en A, la
situation s'est débloquée.
J'ai beaucoup de mal avec Latex aussi je n'indiquerai pas les calculs
intermédiaires pour obtenir le résultat attendu mais si cela intéresse
quelqu'un, qu'il me le signale et je détaillerai.
Encore merci.
A bientôt et bonnes maths à tous.

[Kashgar]

Bonjour
Je termine:
j'en étais resté à:
S_n=Im(\frac{2e^{\frac{i\pi }{n}}}{1-e^{\frac{i\pi }{n}}})

S_n=Im(\frac{e\frac{i\pi }{2n}(2e\frac{i\pi }{2n}) }{e\frac{i\pi }{2n}(e\frac{-i\pi }{2n}-e\frac{i\pi }{2n})})

après simplification, on divise le numérateur et le dénominateur par
2i, on change le signe au dénominateur et on obtient une formule
d'Euler au dénominateur.
On obtient alors:

S_n=Im(\frac{e\frac{i\pi }{2n}}{-i\sin (\frac{\pi }{2n})})
on développe alors le numérateur et on arrive facilement au résultat
souhaité.
Merci encore.
A bientôt.