Déterminer ensemble de points dans le plan complexe

Bonjour, voici un exercice de mon DM :

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct (O, i, j)
Soit z un nombre complexe différent de -1, 0, 1.
Soient M1, M2, M3 les points d'affixes repectives z, z², z³.

Vérifier que les points M1, M2, M3sont distincts deux à deux.
On considère le rapport (z³-z)/(z²-z)
a) Interpréter dans le triangle M1M2M3, le module et un argument de ce rapport.
b) Simplifier ce rapport. En déduire que le triangle M1M2M3 est :

Isocèle en M1 si et seulement si |z+1|=1
Rectangle en M1 si et seulement si (z+1)+(z+1)= 0

a) Déterminer l'ensemble E des points M1 tels que le triangle M1M2M3 soit isolcèle en M1.
b) Déterminer l'ensemble F des points M1 tels que le triangle M1M2M3 soir rectangle en M1.

Pour la questions 1, j'ai caculer z=z², z=z³ et z²=z³
J'en ai déduit les solutions S={-1;0;1}

Pour la question 2, on m'a conseillé la forme trigonométrique, mais je ne vois pas du tout comment l'utiliser.

Si vous avez des astuces ou des conseils lorsqu'on prend un point M pour tout point du plan.
Pouvez-vous m'aider svp, merci.

Bonjour,

A quoi correspond le module de z³-z et de z²-z ?

z³-z est le coté M1M3 du triangle et z²-z est le coté M1M2
Je vois pas comment caculer ce rapport et donc comment trouver son module.

La question, n'est pas calculer mais interpréter.
Le module est donc égal à M1M3/M1M2.

et pour trouver un argument, comment fait-on ?
On prend :
cosθ = M1M3/(M1M3/M1M2) ?

L'argument du rapport correspond à l'angle entre M1M3 et M1M2. Là aussi le calcul n'est pas demandé.
b) Simplifie l'expression

ssi
Bonjour, voici un exercice de mon DM :

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct (O, i, j)
Soit z un nombre complexe différent de -1, 0, 1.
Soient M1, M2, M3 les points d'affixes repectives z, z², z³.

Vérifier que les points M1, M2, M3sont distincts deux à deux.
On considère le rapport (z³-z)/(z²-z)
a) Interpréter dans le triangle M1M2M3, le module et un argument de ce rapport.
b) Simplifier ce rapport. En déduire que le triangle M1M2M3 est :

Isocèle en M1 si et seulement si |z+1|=1
Rectangle en M1 si et seulement si (z+1)+(z+1)= 0

a) Déterminer l'ensemble E des points M1 tels que le triangle M1M2M3 soit isolcèle en M1.
b) Déterminer l'ensemble F des points M1 tels que le triangle M1M2M3 soir rectangle en M1.

Pour la questions 1, j'ai caculer z=z², z=z³ et z²=z³
J'en ai déduit les solutions S={-1;0;1}

Pour la question 2, on m'a conseillé la forme trigonométrique, mais je ne vois pas du tout comment l'utiliser.

Si vous avez des astuces ou des conseils lorsqu'on prend un point M pour tout point du plan.
Pouvez-vous m'aider svp, merci.

Bonjour ,
Pour 2 a) : si z et z' sont deux complexes , |z/z'| = |z| / |z'| ( si z'≠ 0 )
et arg( z/z' ) = arg(z) - arg(z') .
Quelle est l'affixe du vecteur $M$ 1 $M</em>{2 }$ , celle de $M$ _1 $M_3$ ?
Pour 2 b) , la simplification est évidente , d'où la réponse pour le triangle isocèle .
Mais pour le triangle rectangle , es-tu sûr de l'énoncé ? (z+1)+(z+1) = 0 signifierait z = -1 qui est exclu !!
Veux-tu repréciser l'énoncé ?
Merci et bon courage .

je trouve que le rapport est égale à (z²-1)/(z-1) = z+1

quelle méthode faut-il appliquer pour démontrer que |z+1| = 1 pour tout point ?

Lis bien la question, on ne demande pas de montrer que module de z+1 = 1 mais de déduire que dans ce cas, le triangle est isocèle.

Quelle est la définition pour un triangle isocèle ?

dans ce cas, M1M2 = M1M3
donc que |z²-z| = |z^3 -z|
⇔ |z²-z|/|z^3 -z| = 1
⇔ |z+1| = 1

Merci ^^

Parcontre pour le triangle rectangle, comment on doit s'y prendre ?
j'ai fait u
ne petite erreur dans l'énnoncé :
(z+1) + (z+1) =0

ssi
dans ce cas, M1M2 = M1M3
donc que |z²-z| = |z^3 -z|
⇔ |z²-z|/|z^3 -z| = 1
⇔ |z+1| = 1

Merci ^^

Parcontre pour le triangle rectangle, comment on doit s'y prendre ?
j'ai fait u
ne petite erreur dans l'énnoncé :
(z+1) + (z+1) =0

Rebonjour ,
C'est toujours la même erreur ??

c'est (z+1) + complèment de (z+1) = 0
(z+1) barre
désolé je sais pas comment le noter.

si un nombre complexe plus son conjugué est égal à 0, que peut on dire de ce nombre complexe ?

que ce nombre est un imaginaire pure

La somme d'un complexe et de son conjugué est un nombre réel .
Si cette somme vaut 0 c'est que le nombre est ?? est ?

Et pour traduire que le triangle est rectangle , on peut toujours utiliser le fameux th de Pythagore : il n'y a ( au début ) que les modules qui interviennent .

Oui c'est un imaginaire pur.
donc (z³-z) = Ki(z²-z)
Donc arg (z³-z) = .......

|z²-z|² + |z^3 -z|² = |z^3 -z²|²

Je voit pas comment trouver l'équation de l'énonncé, il faut développer les carrés ??

pourquoi (z³-z) = Ki(z²-z) ?
Pourquoi, on le multiplie par i ?

Oui , mais la méthode de Noemi est beaucoup plus simple : pense à simplifier .

Parce que le quotient est imaginaire , donc de la forme ki où k est réel .

heu ... j'avoue que là je me sens larguée xD
j'ai jamais vu ça des mes livres de math
J'ai du mal à comprendre, je vais chercher un résumé de cours ^^

Je trouve pas, il y a pas une autre méthode qu'on peut utiliser ?

Tu utilises les propriétés :
arg(zz') = arg z + arg z' et arg (ki ) = ....

La première proprièté je maitirise a peu près
arg (ki) = arg (k) + arg (i)
arg (ki) = arg (k) + ∏/2 [2∏] ??

Attention, k est un réel
donc arg(k) = .....

arg (k) = 2∏ [2∏]
Donc arg (ki) = ∏/2 [2∏] ?

A quoi ça va nous servir après ?
J'ai du mal à faire le rapprochement ?

Compare les arguments de (z³-z) et de Ki(z²-z)

arg (z³-z) = (vecteur u ; vecteur M1M3) [2 $p i$ ]
et arg (Ki(z²-z)) = arg (ki) + arg(z²-z) = $p i$ /2 + (vecteur u; M1M2) [2 $p i$ ]

Quel angle peut-on déduire entre les vecteurs M1M3 et M1M2 ?

si (z³-z) = Ki(z²-z)
alors arg (z³-z) = arg (Ki(z²-z))
donc (vecteur u ; vecteur M1M3) [2 $p i$ ] = $p i$ /2 + (vecteur u; M1M2) [2 $p i$ ]
⇔ (vecteur u ; vecteur M1M3) - (vecteur u; M1M2) [2 $p i$ ] = $p i$ /2 [2 $p i$ ]
⇔ arg ((z³-z)/Ki(z²-z)) = $p i$ /2 [2 $p i$ ]
Donc que l'angle (M1M2; M1M3) est un angle droit.

Merci j'ai compris le raisonnement, même si j'ai un peu de mal à admettre que (z³-z) = Ki(z²-z)

Mais on fait pas intervenir (z+1) + complèment de(z+1) = 0

On a fait intervenir (z+1) + conjugué de(z+1) = 0 car on utilise z+1 = ki.

donc si (z+1)+ conjugué de(z+1) = 0
alors (z+1) est un imaginaire pure
donc on peut dire que (z+1) = ki, avec k ∈ $mathbb{C}$
⇔ (z³-z)/(z²-z) = ki
⇔ (z³-z) = Ki(z²-z)

J'ai compris ^^, merci beaucoup.

Pour determiner l'ensemble E, comment il faut faire ? partir de l'égalité |z+1| = 1 ?

petite erreur d'inatention :
k ∈ $mathbb{R}$

L'équation : module de (z -zA) = R correspond à un cercle de centre A d'affixe zA et de rayon R .

donc l'ensemble E ⇔ à l'équation z = 1 + |z+1|e $^{iθ}$

et l'ensemble F, correspond a une droite verticale d'équation x=-1, car (z+1) est un imaginaire pure ?