Système , nombres entiers



  • Bonjour ,
    Voila l'exercice qui me pose probleme :
    Je dois trouvé trois entiers x,a,et b tels que
    x = 15a + 11,
    x = 26b + 17,
    x étant compris entre 1 et 500 .
    J'ai pensé à Bezout , et j'ai trouvé : 17 .(2) + 11.(-3) = 1 ,
    mais pour 15 et 26 , je trouve pas u et v tel que 15.u + 26.v = 1
    Mais on me demandera comment j'ai trouvé 2 et -3 , et u et v ( si je les trouves ) .
    Merci davance à ceux qui voudrons bien m'aidé .


  • Modérateurs

    Bonsoir

    Avec 7 et - 4 ?



  • Bonjour , merci de me répondre
    15*(7) + 26*(-4) = 1
    Mais comment on fait pour trouvé 7 et -4 ?


  • Modérateurs

    Bonjour

    Tu utilises l'algorithme d'Euclide
    17 = 1x11 + 6
    11 = 1x6 + 5
    6 = 1x5 + 1
    Puis la remontée de l'algorithme d'Euclide
    1 = 6 - 1x5 ; or 6 = 17 -1x11 et 5 = 11 - 1x6
    1 = 17 - 1x11 - 1x11 + 1x(17-1x11)
    = 2x17 - 3x11

    Je te laisse chercher l'autre



  • Avec les divisions , je trouve
    26 = 115 +11
    15 = 1
    11+4
    11 = 24+3
    4 = 1
    3 + 1
    Donc 1 = 4 - 1*3
    Mais après je m'embrouille car il y a une égalité de plus que dans l'autre exemple .


  • Modérateurs

    Tu remplaces
    3 par 11 -24
    4 par 15 - 1
    11
    11 par 26 - 1*15



  • 1 = 4-13
    =15-1
    11-1*(11-24)
    =15-2
    11+24
    =15-2
    (26-115)+2(15-111)
    =5
    15-226+211 ?
    il faut recommencer avec 11 ?


  • Modérateurs

    Oui tu remplaces le 11
    Attention c'est -2*11



  • Oui , pardon
    Donc :
    1 = 515-226-211
    = 5
    15-226-2(26-115)
    =7
    15-426
    Merci beaucoup .
    Mais pour mon problème , il faut utilisé
    17 (2) + 11(-3) = 1
    ou 7
    15-4*26 = 1 ?


  • Modérateurs

    Tu as démontré que 11 et 17 puis 15 et 26 étaient premier entre eux.
    Tu dois trouver le triplet (a;b;x) = (16; 9 ; 251)
    Y avait-il une autre question avant celle-ci ? ou est-ce l'énoncé complet de l'exercice ?



  • Non , on m'as pas donnée la réponse .
    Juste conseillé d'utiliser Bezout .
    Mais quel rapport avec les chiffres trouvés avant ?
    Et comment on trouve 16 et 9 ?


  • Modérateurs

    Celle que tu dois utiliser est 7 ; -4 solutions de 15u + 26b = 1
    car tu dois résoudre
    15a - 26b = 6



  • 15u + 26b = 1
    Pourquoi b ?
    C'est le b qu'on cherche ?


  • Modérateurs

    Une erreur de frappe c'est 15u + 26v = 1
    Tu as trouvé u = 7 et v = -4

    Cherche les solutions particulières de 15a - 26b = 6



  • 157- 264 = 1
    Pour trouver 6 , on multiple par 6 ?
    1542 - 2624 = 6 ?


  • Modérateurs

    C'est presque ça.
    Il faut tenir compte du moins
    a = 6u et b = -6v
    soit a = 42 et b = 24
    Donc l'ensemble des solutions de 15a - 26b = 6 est .......

    A compléter



  • (42 ; 24) ?


  • Modérateurs

    (46;24) est une solution particulière

    L'ensemble des solutions : (42+26k ; 24+15k) avec k appartenant à Z
    Il reste à écrire x
    x = ....



  • x = (42+26k)*15 + 11
    et x = (24+15k)*26 + 17
    Mais on ne connait pas k


  • Modérateurs

    zora93
    x = (42+26k)*15 + 11
    et x = (24+15k)*26 + 17
    Mais on ne connait pas k

    Simplifie l'expression pour x (développe).
    Tu as ainsi l'ensemble des solutions.
    En prenant k = -1, tu retrouves la solution particulière que je t'ai indiqué.



  • x = 630 + 390k + 11 = 641 + 390k
    et x = 624 + 390
    k + 17 = 641 + 390*k , c'est pareille
    Et pour k = -1 , on trouve x = 641 - 390 = 251 .
    Mais comment on sait qu'il faut prendre k = -1 ?


  • Modérateurs

    La question est : trouver trois entiers
    a = ....
    b = ....
    x = .....

    Les trois entiers dépendent de k car tu as une infinité de solutions.

    Pour faire une vérification, tu donnes à k une valeur, j'ai choisi k = -1, mais tu peux prendre toute autre valeur.



  • a = 42+26k
    b = 24+15k
    x = 641 + 390*k

    Mais si je choisi k = 2 , je trouve
    a = 94
    b = 54
    x = 1421

    Mais on me demande x compris entre 1 et 500 . je vois bien que pour k = -1 on trouve x = 251 , ça marche , mais comment être sur de choisir le bon k parmi toutes ?


  • Modérateurs

    Comme x = 641 + 390*k
    et x compris entre 1 et 500,
    il faut résoudre :
    1 < 641 + 390k < 500



  • donc
    -640 < 390*k < -141
    -640/390 < k < -141/390
    -1.6... < k < -0.3...
    et k entier , donc k = -1 !
    Merci beaucoup , c'était dificile


  • Modérateurs

    Tu as tout compris ?
    C'est un devoir maison ?



  • C'est un exercice " de recherche" .
    Mais je crois avoir compris .
    Encore merci .


 

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