Visualitaion avec Geogebra puis résolution d'un problème de barycentres

Salut,
alors voila j'en suis a 6DM pour c'est vacances dont un de maths et je galère vraiment pour l'exercice dont voici l'énoncer, alors si quelqu'un pourrait m'aider ce serait vraiment génial...
Merci d'avance

Soit trois points du plan A, B et C non alignés et soit un réel k de l'intervalle [-1 ; 1].
On considère Gk le barycentre du système {(A,k²+1),(B,k),(C,-k)}.
Le but de cet exercice est de déterminer le lieu des points Gk lorsque k décrit l'intervalle [-1 ; 1].

A. Visualisation avec geogebra

Représenter les points A, B, C, G1 et G-1.
Construire le point Gk puis visualiser l'ensemble des points Gk lorsque k décrit [-1;1].
Quelle est la nature de l'ensemble précédent.

B. Justification mathématique

Justifier, pour tout réel k de [-1 ; 1] l'existence du point Gk.
Démontrer que pour tout réel de l'intervalle [-1 ; 1], on a →AGk = -k/(k²+1)→BC.
Étudier les variations de la fonction f définie sur [-1;1] par f(x) =-x/(x²+1)
Démontrer la conjecture faite avec le logiciel.

Encore merci!!!

Bonjour ,
Le barycentre existe si la somme des coefficients est non nulle .
Pour la question B2 : es-tu sûr des signes : -k/(-k²+1) ?

Salut,
merci pour ta réponse et oui je me suis tromper pour la question B2.

Par contre je ne voit toujours pas pour la première on a pas k...

Soit a,b,c trois réels , et A,B,C trois points
Si a+b+c ≠ 0 , il existe un point G unique tel que
a.vectGA + b.vectGB + c.vectGC = vect0
C'est le barycentre de {(A,a) , (B,b) , (C,c) }
Il suffit donc de calculer la somme
des coefficients , pas besoin de connaître $G_k$

okok je fait sa tout de suite,Merci!

Me revoilà,
k²+1+k-k=k²+1

Or un carré est toujours positive ou nul donc k²+1>1

C'est bien ca?

et 1 ≠ 0 , c'est ce qui compte

okok, merci.

Pour la deuxième question je voit pas j'ai utiliser la formule pour construire un barycentre mais je trouve 0/(k²+1).

Donc si tu pourrais m'aider...?

Tu parles de la partie A ou de la partie B ?
Pour la partie A je ne peux pas t'aider : je ne connais pas geogebra .
Mais pour la partie B , on ne te demande pas de construire mais de calculer $vectAG_k$

Oui je parle de la parite B et oui je sais qu'il faut calculer et non pas construire mais j'utilise la formule

→GA=alpha/(alpha+beta)→AB
et la je trouve 0/(k²+1)

Non , tu n'utilise que 2 points alors qu'il y en a 3 .
Et vectGA doit être exprimé en fonction de vectBC , pas de vectAB
Et mêmepour 2 points , ta formule est fausse

Oui je sais que c'est pour trois point je voulais abréger désoler.
Mais comment tu veut exprimer le vecteur BC moi je voit pas...?

Applique la définition :
Gk est le barycentre du système {(A,k²+1),(B,k),(C,-k)}
donc : ...

Re,

Sa donne, (k²+1)→GA+k→GB-k→GC=→0

Je vois que sa...

Bonsoir,

La relation vectorielle est correcte.

sa me parait just

Bonsoir,
Oui mais je ne voit pas comment continuer il faut que j'arrive a demontrer que →AGk = -k/(k²+1)→BC...

Isole le vecteur AG de ta relation.
vect AG = ......

ok je le fait...

Desoler mais j'y arrive toujours pas je tombe sur:
→AG=(-k+k)/k²+1)→BC

G est le barycentre du système {(A,k²+1),(B,k),(C,-k)}
soit (k²+1) vect GA + k vect GB - k vect GC = vect 0
soit (k²+1) vect GA - k(vect BG + vect GC) = vect 0
soit ....
comme k²+1 > 0
vect AG = .....

Ok mais en faite c'est la ligne la que je ne comprend pas:
Citation

k(vect BG + vect GC)
Pourquoi sa devient -k sa doit pas faire 0???!

A partir de k vect GB - k vect GC , tu mets -k en facteur
-k(-vect GB+vect GC) or -vectGB = vect BG
-k(vect BG + vect GC)
-k vect BC

ren la galère alors que c'était tout con^^
MERCI!
Pour la question suivante il faut dériver, faire un tableau de signe de f'(x) puis de f(x)??

Si c'est sa je c'est pas si il faut mettre un plus ou un moins pour la ligne x²-1...

A bain non si c'est sa qui faut faire c'est un moin car a l'interieur des racines c'est le signe de -a

f est définie sur [-1;1], étudie le signe de x²-1 sur cet intervalle.
Tu peux factoriser x²-1.

Salut voila j'arrive à sa:
$\begin{tabular}{|c|ccccccc|}x&-\1&&1&&\ \hline {f'(x)}&&-& \ \hline \ &1/2 &&& -1/2\ {f}&&\searrow&&\ \end{tabular}$

C'est juste.

Et pour la dernière question je voit pas trop même pas du tout si tu peut encore m'aider?

Quelle conjoncture as tu fais dans la partie A ?

Je les pas encore faite je n'arrive pas a représenter les points
G1 et G-1.

vect AG(1) = 1/2 vect BC
et vect AG(-1) = ....

-1/2vectBC?

Oui.

okok une fois les conjonctures faite je repasserais^^

Hello,
J'ai tout essayer mais pas moyen de reussir a faire la figure sur geogebra...

Si quelqu'un aurait des connaissances sur ce logiciel sa serait cool!
Merci

salut

on peut rentrer du code en ligne de saisie, et pas seulement cliquer sur des boutons ; ainsi on peut créer des points définis par des relations vectorielles (donc des barycentres de deux points) comme dans cet exemple, notamment la 2e version :

*2.4. Partage d’un segment [AB] dans le rapport 7/3

Comme GeoGebra nous permet d’effectuer du calcul vectoriel, ce type de construction ne va pas poser de problème. Il suffit d’écrire dans le champ de saisie, en validant chaque ligne par Entrée :

A=(-2,1)
B=(3,3)
s=Segment[A,B]
T=A+7/10*(B-A)

Une autre façon de le faire est la suivante :

A=(-2,1)
B=(3,3)
s=Segment[A,B]
v=Vecteur[A,B]
T= A+7/10*v
*

Gk = bary {(A,k²+1),(B,k),(C,-k)}

donc pour k=1

$\vec{ag_1} + \vec{bg_1} - \vec{cg_1}= \vec0$

ce qui devient

$\vec{ag_1} + \vec{bg_1} +\vec{g_1c}= \vec0$

et la relation de Chasles permet de trouver

$ag1⃗=12,cb⃗\vec{ag_1} = \frac12,\vec{cb}$

ça permet de construire très simplement G1 de façon "géométrique"

Ok merci beacoup , pour construire G_k j'ai utiliser cette formule:
Citation
G_k=translation[A,-k/(k²+1)*u]

Sa marche??

Gk le barycentre du système {(A,k²+1),(B,k),(C,-k)}

$(k2+1)agk⃗+kbgk⃗−kcgk⃗=0⃗(k^2 + 1) \vec{ag_k} + k \vec{bg_k} - k \vec{cg_k} = \vec0$

devient

$(k2+1)agk⃗+kbc⃗=0⃗(k^2 + 1) \vec{ag_k} + k \vec{bc} = \vec0$

soit

$agk⃗=−k(k2+1)bc⃗\vec{ag_k} = \frac{-k}{(k^2 + 1)} \vec{bc}$

si ton u est vec BC alors c'est bon.