le tvi ... avec recurrence?

et oui c'est encore moi ... :evil:

encore une fois je viens solliciter votre aide ...

voici l'enoncé : pour tout n≥1 on note Pn le polynome defini par
$P n (x) = x$ ^{n+1} $2x^n$ +1
demontrer que Pn admet une racine comprise entre $2nn+1\frac{2n}{n+1}$ et 2

voila je veux pour ca montrer que Pn( $2nn+1\frac{2n}{n+1}$ )≤0 pour tout n≥1 par recurrence mais je n'y arrive pas TwT j'ai juste montre que pour tout n≥1Pn(2)=1
et donc c'est positif c'est pour ca que ca serait arrangeant d'avoir l'autre negatif (d'ailleurs j'ai testé a la calculette avant de me mettre dans l'idee que c'etait negatif et c'est bien le cas ^^)
bon voila l'enoncé
merci d'avance

et j'ai reussis a faire ma premiere belle fraction en LaTex rien que pour vous ^^

Bonsoir,

Etudie les variations de Pn.

je crois que j'ai compris mais je sais pas si c'est ca :

je derive $P n ($ \frac{2n}{n+1} $) = ($ \frac{2n}{n+1} $)$ ^{n+1} $- 2 ($ \frac{2n}{n+1} $^n$ +1

je dis P'n ( $2nn+1\frac{2n}{n+1}$ )<0 donc la fonction est decroissante or pour n=1 Pn( $2nn+1\frac{2n}{n+1}$ )=0 donc a partir de la tout est negatif et donc au final il n'y aurait pas de recurrence????

bon dites moi si je me suis planté s'il vous plait

en fait je n'ai pas la moindre idee de comment on derive ca TwT

a siiiiii je passe par x^y = (e^ln(x))^y= e^(yln(x)) ????

Bonjour ,
Fait comme Noemi a dit : étudie les variations de P(x) ,
cacule P'(x) , avec la lettre x , tu t'occuperas des valeurs après .

En fait , ta question n'est pas claire :
1 est de toute évidence une racine de $P_n$ comprise entre 2n/(n+1) et 2 :
calcule $P_n$ (1)

1 c'est pas bon puisque si je prends n=2, 2n/(n+1)=4/3 et 1 n'est pas compris entre 4/3 et 2

Exact : au temps pour moi : j'avais mal lu le n de 2n
Mais 1 est quand même une racine de $P_n$
As-tu calculé P' $_n$ (x) ?

sinon quand je fais la derivee avec les x je la trouve nulle en 2n/(n+1)

mais si je considere
$f (n) = (2 n / (n + 1))$ ^{n+1} $2(2n/(n+1))^n$ +1
et que je derive ce machin ca marche tres bien on voit que f(1) est nul et que f est decroissante donc apres je fais un tvi et c'est ok

parcontre j'aimerais quand meme bien comprendre l'autre methode ^^

ba oui mais P'n (x ) ca me donne 0 en 2n/(n+1)

On dérive une fonction , pas un nombre .
Tu as la dérivée , son signe , alors dresse le tableau de variations de $P_n$

j'essaye

a ok, on a Pn' $(x) = (n + 1) x$ ^n $2nx^{n-1}$
$x^{n-1}$ (x(n+1)-2n)
avec $x^{n-1}$ >0, et x(n+1)-2n<0 si x<2n/(n+1)
x(n+1)-2n>0 si x>2n/(n+1)
donc elleest croissante sur 2n/(n+1) ;+∞

et apres faut quand meme dire que 2n/(n+1) est tjrs negatif non ? donc on en revient au probleme ?

Ton étude n'est pas complète :
$x^{n-1}$ >0 : ce n'est pas toujours vrai ( selon la parité de n ) , mais compte tenu de la question , il suffit de regarder ce qui se passe pour x > 0 , et là $x^{n-1}$ >0 .
Mais il ne suffit pas de regarder entre 2n/(n+1) et +∞ : il faut regarder entre 0 et +∞

et si je dis que de 1 a 2n/(n+1) c'est decroissant et que en 1 Pn vaut 0 on sait que c'est negatif et on peut conclure ?

Oui , mais pourquoi de 1 à 2n/(n+1) ? et pas de 0 à 2n/(n+1) ?
De plus , la croissance de 2n/(n+1) à +∞ ne suffit pas : et si ça restait négatif ( tout en étant croissant ?!!)
Il te faut donc calculer $p_n$ ( une valeur supérieure à 2n/(n+1))
Je te propose $p_n$ (2)

oui mais en fait c'etait dans le premier message que j'ai posté c'est pour ca j'ai considéré que ce probleme etait reglé
et en fait si je commence a 0 on garde justement ce probleme puisque Pn(0)=1 c'est peut etre decroissant mais on sait pas si ca devient negatif :s et de toute facon l'enoncé demande a partir de n=1 or 2n/(n+1)=1 pour n=1 voila ^^

mais en tout cas vraiment merci de ton aide mathous vraiment comparé a ma methode de bourrin avec une derivée de 3 lignes par egalité ya pas photo ^^

darkontes
oui mais en fait c'etait dans le premier message que j'ai posté c'est pour ca j'ai considéré que ce probleme etait reglé
et en fait si je commence a 0 on garde justement ce probleme puisque Pn(0)=1 c'est peut etre decroissant mais on sait pas si ca devient negatif :s et de toute facon l'enoncé demande a partir de n=1 or 2n/(n+1)=1 pour n=1 voila ^^

mais en tout cas vraiment merci de ton aide mathous vraiment comparé a ma methode de bourrin avec une derivée de 3 lignes par egalité ya pas photo ^^

Je ne comprends pas ce que tu veux dire .
Je résume car je vais devoir me déconnecter :
de 0 à 2n/(n+1) , la fonction est décroissante
$P_n$ (1) = 0 et 1 < 2n/(n+1) ( dès que n>1) donc $P_n$ (2n/(n+1)) <0
de 2n/(n+1) à +∞ , la fonction est croissante
$P_n$ (2) = 1 ( vérifie ) est positif
Donc il y a une racine entre 2n/(n+1) et 2

Cas particulier pour n = 1 : la racine est 2n/(n+1) = 1

Oui plus aucun probleme ^^ merci encore mathtous