Faire l'étude complète d'une fonction et son comportement asymptotique

Ah ok !!!
Merci beaucoup, grace à tes réponses, j'ai bien compris

Mais j'ai un autre exercice à faire aussi .
Voila l'énnoncé :

On rappelle que l'on nomme fonction homographique, toute fonction dont l'expression algébrique est de la forme f(x)= (ax+b)/(cx+d) où a, b, c et d sont 4 réels tels que ad-bc0 et c0 .

Partie A :
h(x)=(4x+3)/(2x+2)

Préciser l'ensemble de définition Dh puis justifier qu'elle est dérivable sur Dh.
J'ai fait: il faut 2x+20
donc 2x-2
x-1
Elle est dérivable car elle est sous la forme de u/v.

2)Etablir les limites de la fonction h aux bornes de Dh. En déduire que H (courbe representative) admet deux asymptotes dont on donnera une équation .
Je n'ai pas compris ... Quelles sont les bornes ? + et - ?

3)Montrer que le point oméga (-1;2) est le centre de symétrie de H.
J'ai fait un calcul mais cela ne correspond pas ...
Si (f(a+x)+f(a-b))/2=b alors A(a;b) est centre de symétrie .
oméga (-1;2)
h(x)=(4x+3)/(2x+2)
h(a+x)=(x4(-1)+3)/(x2(-1)+2) = (-4x+3)/(-2x+2) = h(x)
h(a-b)=(4*(-1-2)+3)/(2*(-1-2)+2) = (4*(-3)+3)/(2*(-3)+2) = (-12+3)/(-6+2)=-9/(-4)=2,25

[[(4x+3)/(2x+2)]+2,25]/2 = 2,11

4)Calculer h'(x), puis donner son signe sur Dh.
H(x) est sous la forme u/v .
u=4x+3
u'=4
v=2x+2
v'=2
h'(x)=(u'v+v'u)/v²
=(4(2x+2)-2(4x+3))/(2x+2)²
=(8x+8-8x+6)/(2x+2)²
=14/(2x+2)²
La fonction h'(x) est positive car (2x+2)² 0 (présence du carré)mais il faut exculure -1

5)Etablir le tableau complet des variations de la fonction h .
Il faut faire :
x : -∞ ; -1 ; +∞
f'(x): + ; +
f(x): +∞ croissante ;||; croissante +∞

6)Déterminer les points d'intersection de H avec les axes du repère.
(????) Faut-il faire h(0) ? Mais cela marche seulement pour les x et pas pour les y ...

7)Tracer la courbe H
Je peux le faire à l'aide de ma calculette graphique .

Partie B.
On considère le cas général :
h(x)=(ax+b)/(cx+d)

8)Preciser l'ensemble de définition Dh de la fonction h puis justifierqu'elle est dérivable sur Dh.
Je n'arrive même pas à donner le domaine de définition ...

9)Justifier que H admet une asymptote horizontale d'équation y=a/c, ainsi qu'une asympote verticale d'éaquation x=-d/c
Je ne comprends strictement rien ...

10)Montrer que le point d'intersection de ces deux asymptotes est centre de symétrie de la courbe H.
(????????)
Je me doutes qu'il faut reprendre le cas particulier, mais je ne comprends pas comment faire ..; De plus mes calculs étaient faux ...

11)Calculer h'(x), puis montrer que h'(x) est du signe de ad-bc
h(x)=ax+b)/(cx+d)=u/v
u=ax+b
u'=a
v=cx+d
v'=c
h'(x)=(u'v+v'u)/v²
h'(x)=[a(cx+d)+c(ax+b)]/(cx+d)²
=(acx+ad+cax+cb)/(cx+d)²
=(acx²+ad+bc)/(cx+d)²
Je n'arrive pas à démontrer que h'(x) est du signe de ad-bc

12)En déduire les deux types de tableaux de variations possibles de la fonction h.
(?????)

En déduire les deux types de representation graphiqes de ce genre de fonction
(....?????????????????????)

Merci de m'aider parce que je ne comprends vraiment rien ...

S'il te plait : une seule question à la fois .
Pour 1)
Il manque des "=" ou des "≠" dans tes écritures , et selon l'un ou l'autre , ça change tout !

On rappelle que l'on nomme fonction homographique, toute fonction dont l'expression algébrique est de la forme f(x)= (ax+b)/(cx+d) où a, b, c et d sont 4 réels tels que ad-bc≠0 et c≠0 .

Partie A :
h(x)=(4x+3)/(2x+2)

Préciser l'ensemble de définition Dh puis justifier qu'elle est dérivable sur Dh.
J'ai fait: il faut 2x+2≠0
donc 2x≠-2
x≠-1
Elle est dérivable car elle est sous la forme de u/v.

Oui , x≠-1 .
Mais tu dois écrire l'ensemble Dh sous forme d'intervalles .
Pour la dérivabilité , il suffit que le numérateur et le dénominateur soient dérivables ( ce qui est évident ) afin d'utiliser ta formule avec u/v

C'est bon là ?

OK
Maintenant , tu dois écrire l'ensemble Dh sous forme d'intervalles .

Dh= ]-∞;-1[∪]-1;+∞[

Le petit symbole , c'est la réunion ?
alors d'accord .
Les "bornes" de Dh sont les extrémités des intervalles .
Tu dois donc chercher la limite de h(x) :
a) lorsque x tend vers -∞
b) lorsque x tend vers -1 en étant inférieur à -1
c) lorsque x tend vers -1 en étant supérieur à -1
d) lorsque x tend vers +∞

j'avais fait lim N(x)=lim 4x+3 = -∞
quand x→-∞
lim D(x)=lim 2x+2= -∞
quand x→-∞
donc lim (4x+3)/(2x+2) = +∞
quand x→-∞
Est-ce que c'est juste ?

Non : si tu cherche séparément les limites du numérateur et du dénominateur ( qui sont justes ) , tu obtiens une "forme indéterminée"
car elles sont toutes deux infinies .
Tu dois avoir le résultat dans ton cours :
quand x tend vers ±∞ , (ax+b)/(cx+d) tend vers ...

A ok .. Oui c'est exact .
Et après que dois je faire ?

mathtous
Le petit symbole , c'est la réunion ?
alors d'accord .
Les "bornes" de Dh sont les extrémités des intervalles .
Tu dois donc chercher la limite de h(x) :
a) lorsque x tend vers -∞
b) lorsque x tend vers -1 en étant inférieur à -1
c) lorsque x tend vers -1 en étant supérieur à -1
d) lorsque x tend vers +∞

Donne-moi déja la limite pour a) et d) , histoire de vérifier , puis traite les cas b) et c)

limN(x)=lim 4x+3= +∞
quand x→ +∞

lim D(x)=lim 2x+2 = +∞
quand x→ +∞

lim N(x)= lim 4x+3 =0-
quand x→-1
x<1

lim D(x)= lim 2x+2 =0-
quand x→-1
x<1

limN(x)= lim 4x+3= 0+
quand x→-1
x>1

limD(x)= lim 2x+2= 0+
quand x→-1
x>1

C'est ça ?

Pas du tout .
Donne-moi d'abord la limite quand x tend vers -∞ :
je t'ai dit plus haut qu'il ne faut pas traiter séparément N(x) et D(x) , mais utiliser un résultat du cours que je t'ai demandé de compléter .
Fais ce qu'on te demande sinon comment peut-on t'aider ?!

A ok, mais en cours, le prof nous fait faire séparément ..
Desolée ...
Alors je cherche comme tu m'as dit ...

Ca dépend des exercices !
Je reprends :
Tu dois avoir le résultat dans ton cours :
quand x tend vers ±∞ , (ax+b)/(cx+d) tend vers ...

Je suis en train de chercher mais je n'ai rien de ce type dans mon cours ...
J'ai un chapitre appelé : Opérations algébriques
Avec 1)La somme f+g
2)Le produit f*g
3)L'inverse de 1/g
4)Le quotient f/g

C'est cela qu'il faut utiliser ?

Non , c'est dans le chapitre sur les fonctions homographiques

Je n'ai pas ce chapitre .
Justement quand le prof nous a donné l'exercice, nous avons regardé le titre qui est : "Le point sur les fonctions homographiques pour être efficace en Terminale..."
Et nous avons tous dit que nous ne savions pas ce qu'était une fonction homographique et il nous a repondu que nous n'avions qu'à faire l'exercice pour le savoir ....
Je vais regarder dans le cour de mon livre mais celui si est très compliqué ...

Choisis :
ou bien tu regardes dans ton cours et tu y trouveras peut-être le résultat ;
ou bien je te guide pour faire la démonstration du résultat , mais il ne faut pas que cela t'embrouille ni te fasse perdre le fil du problème .

celui ci *
Et il n'y a rien sur les fonctions homographiques ...

Il n'y a rien ,alors j'attends ta démonstration . Ca ne peut que être mieux que rien ...

" celui ci * " : je te guides ?

Oui . Pour le celui ci, je l'avais écrit avant de lire la dernière réponse : je me suis appercue d'une faute .

On a donc h(x) = (4x+3)/(2x+2)
Comme on fait tendre x vers l'infini ( peu importe +∞ ou -∞ ) , on peut bien supposer x ≠ 0.

Factorise x partout : (4x+3)/(2x+2) = [x(...)] / [x(...)]
( Chez toi , écrit sous forme de quotient , tu y verras mieux )

h(x)=(4x+3)/(2x+2) =(4x²+3x)/(2x²+2x)
Mais ça sert à quoi de faire cela ?

Avant de sortir, la veille des vacances, nous avons fait un exercice et le prof nous a dit que cette opération :
f(x)=(3x+6)/(2x-3)
lim f(x)=lim 3x/2x = 3/2
quand x→+∞
D'où une asymptote horizontale en 3/2
Et on a pareil quand x→-∞

Je n'ai rien compris non plus mais cela doit il m'aider dans mon DM ?

Melle-Pomme
h(x)=(4x+3)/(2x+2) =(4x²+3x)/(2x²+2x)
Mais ça sert à quoi de faire cela ?

Avant de sortir, la veille des vacances, nous avons fait un exercice et le prof nous a dit que cette opération :
f(x)=(3x+6)/(2x-3)
lim f(x)=lim 3x/2x = 3/2
quand x→+∞
D'où une asymptote horizontale en 3/2
Et on a pareil quand x→-∞

Je n'ai rien compris non plus mais cela doit il m'aider dans mon DM ?

Ta réponse est fausse : tu n'as pas factorisé , tu as fait le contraire .
Revenons à tes N(x) et D(x) :
N(x) = 4x+3 = x(4+3/x) !!
Quant à ta remarque sur l'autre fonction , oui , elle peut servir , mais encore une fois , ne fais pas plusieurs choses en même temps .
Je t'ai donné N(x)
Factorise de même D(x) .
Puis simplifie N(x)/D(x)

Mais je croyais qu'il ne fallait pas utiliser N(x) et D(x) ??

D(x)= 2x+2 = x(2+2/x)

N(x)/D(x)= [x(4+3/x)]/[x(2+2/x)]
=(4+3/x)/(2+2/x)
Et si j'utilise la formule du prof, j'ai alors 3/2 non ?
Donc une asymptote en 3/2 mais je ne sais pas comment savoir si elle est verticale ou horizontale ...

3/2 , c'est pour un autre exemple , pas pour le tien .
Fais ce que je te demande , vers 19 h , je me déconnecte .

Melle-Pomme

D(x)= 2x+2 = x(2+2/x)

N(x)/D(x)= [x(4+3/x)]/[x(2+2/x)]
=(4+3/x)/(2+2/x)

C'est pas ça ?

Oui.
Quelle est la limite de 3/x quand x→ ∞ ?

± ∞ ? ba je ne sais pas ... Pourquoi seulement 3/x ?

Si x tend vers l'infini , il devient très grand , alors que devient 3/x ?

ba très grand ... mais si c'est - l'infini ... il devient petit non ?

Non : x devient très grand : 10 , 100 , 1000 , 10000 , ...
alors 3/x devient 3/10 , 3/100 , 3/1000 , ça grandit ou ça rapetisse ?

ça rapetisse .. Je comprends pas àa quoi ça sert de savoir ça la ?

Je résume : si x→ ∞ , 3/x → 0 ( il devient tout petit )
On reprend :
quelle est la limite de 4 + 3/x ? ( toujours quand x→ ∞ ) ?
Quelle est la limite de 2 + 2/x ?
Quelle est la limite de leur quotient ?

Je résume : si x→ ∞ , 3/x → 0 ( il devient tout petit )
On reprend :
quelle est la limite de 4 + 3/x ? ( toujours quand x→ ∞ ) ?
C'est 0 aussi car on ne tient pas compte de 4

lim2+2/x=0
aussi
Donc la limite de leur quotient est 0 non ?

Si , il faut en tenir compte ! Revois ton cours sur les limites .
Le reste est donc faux .

Bon ça me soule je ne comprend STRICTEMENT RIEN .
Peux tu m'aider pour le centre de symétrie ?
Le reste je pense y arriver à peu près ...