suite géométrique ; terme général avec exponentielles (ex : Petite question)

Bonjour j'ai une petite question qui me bloque et j'ai besoin d'un peu d'aide
soit la suite In=((e^-2nπ)/2)((exp(-π)+1)

Prouver que la suite (In) est géométrique et préciser sa raison.
En déduire la limite de (In)

NdZ : modif du titre

salut

c'est bien ça, le terme général de ta suite ?

$in=12,e−2nπ,(e−π+1)i_n = \frac12,\text{e}^{-2n\pi},(\text{e}^{-\pi}+1)$

oui

de façon générale, comment reconnais-tu une suite géométrique ?

Un=U0*q^n

par exemple oui, mais alors il faut exhiber le premier terme U_0 et la raison q, ça risque de faire beaucoup.

en fait, ce que tu as donné est l'expression du terme général en fonction de n ; il y a une caractérisation plus simple des suites géométriques.

Un+1=Un*q ?

c'est mieux, car c'est plus simple : au moins on connait U_n et U_{n+1} là-dedans ; il suffit de voir si U_{n+1} est proportionnel à U_n, par exemple en formant leur quotient, en le simplifiant et en voyant ce qu'il reste...

on connait Un et Un+1 ?

oui, en fait ici c'est I_n et I_{n+1}, lequel est obtenu en remplaçant n par n+1 dans la définition de I_n.

suis-je clair ?

In+1=((e^-2n+1π)/2)((exp(-π+1)+1) c'est ça ?

avec un machin pareil faudrait te mettre au LaTeX pour ne pas avoir à se compliquer la vie avec des parenthèses.

je trouve ceci :

$in+1=12,e−2(n+1)π,(e−π+1)=12,e−2nπ×e−2π×(e−π+1)i_{n+1} = \frac12 , \text{e}^{-2(n+1)\pi} , (\text{e}^{-\pi}+1) = \frac12,\text{e}^{-2n\pi} \times \text{e}^{-2\pi} \times (\text{e}^{-\pi}+1)$

oui je trouve la meme chose mais que faire après ?

(j'ai un peu tardé à revenir à ton sujet)

est-ce que

$in+1=12,e−2nπ×e−2π×(e−π+1)i_{n+1} = \frac12,\text{e}^{-2n\pi} \times \text{e}^{-2\pi} \times (\text{e}^{-\pi}+1)$

est proportionnel à

$in=12,e−2nπ,(e−π+1)i_n = \frac12,\text{e}^{-2n\pi},(\text{e}^{-\pi}+1)$

?

oui et ... ?

et quel est le coefficient de proportionnalité ?

relis ton post de 19:20. que représente q ?

q=e^-2π ?

oui, c'est le coefficient de proportionnalité cherché, celui qui montre que la suite est géométrique de raison q = exp(-2 $p i$ ).

ok donc on a bien précisé que c'est une suite géométrique.
Maintenant pour la limite il faut s'aider de la raison comme on a
q<1 donc la suite (In) converge vers 0 c'est bien cela ?

oui ; il vaut mieux écrire 0 ≤ q < 1 ou |q| <1.

ok j'ai une toute dernière question j'ai dérivé f(x)=exp(-x)sin(x)
et je trouve f'(x)=exp(-x)(cos(x)-sin(x))
Pour le dérivé une deuxième fois je dois procéder comment ?

comme d'habitude : c'est encore un produit que tu dois dériver maintenant.

oui mais la il ya cosx et sinx qui me bloque

le produit est uv avec u = exp(-x) et v = cos(x)-sin(x) c'est tout.

et tu écris u'v + uv' !

alors on a u'=-exp(-x) et v'=-sinx-cosx

f''(x)=-exp(-x)*cos(x)-sin(x)+exp(-x)(-sinx-cosx) ?

je rajoute des parenthèses

f''(x) = -exp(-x)*(cos(x)-sin(x)) + exp(-x)(-sinx-cosx)

et ça ne se simplifie pas ?

heu si ça fait -exp(-x)*2cos(x)