Démonstrations de propriétés de cours sur les suites (croissance et monotonie donnent convergence)

Bonjour a tous,

j'ai deux démonstration a realiser:

Si la suite (u_n) est majorée et croissante, alors elle converge
Si la suite (u_n) converge, alors elle est majorée

Pour la 1) j'ai trouvé des démonstration qui ne sont pas du niveau de Ts, est ce que quelqu'un en aurait une, qui soit a peu pres compréhensible pour moi

Merci d'avance!

salut

rien dans ton manuel ?

sinon, quelle définition de la convergence d'une suite as-tu ?

une suite un converge vers l lorsqu'elle possède une limite finie l.

avec ça on n'ira pas loin ; trouve quelque chose de plus précis.

une suite un apour limite le réel l, si tout intervalle ouvert de centre l contient tous les termes de la suite a partir d'un certain rang n0

merci pour ton aide!

alors on va préciser un peu cela :

il existe un $ℓ\ell$ tel que

pour tout $ε\varepsilon$ strictement positif

il existe un rang $n_0$ tel que

pour tout $\geq n_0$ on ait

$un∈]ℓ−ε,;,ℓ+ε[u_n \in ]\ell - \varepsilon,;,\ell + \varepsilon [$

cela traduit en symboles ce que tu as dit précédemment.

maintenant, il faut prouver que si $u_n)$ est croissante majorée il existe un tel $ℓ\ell$ ...

sais tu ce que c'est que d'être croissante et majorée pour une suite ?

est-ce que tu as vu la dichotomie ?

quel est ton manuel ?

si une suite est croissante et majorée alors elle converge

oui, c'est ce qu'il faut prouver.

est-ce que tu peux répondre à mes deux questions précédentes stp ? et à celle-ci : connais-tu les suites adjacentes ?

dichotomie? ca ne em dis rien

comme manuel j'ai "hyperbole "

ok sans suite adjacente alors... t'as rien page 174 (ou pas loin) ?

aux environs de la page 174 je suis dans le chapitre des exp et des croissances comparées

ok laisse tomber.

je te cherche qqch.

^^ merci!

C'est surement pas assez rigoureux pour être une démonstration, mais déjà, intuitivement :

Si la suite (u_n) est majorée et croissante, alors elle converge

Si elle est majorée, elle ne tend pas vers +∞
Si elle est croissante, elle ne tend pas vers -∞
De plus, elle est monotone (puisque croissante) donc tend nécessairement vers un l donné fini.

Si la suite (u_n) converge, alors elle est majorée

Si elle converge, alors elle ne tend pas vers +∞
(selon tes définitions, il existe donc un réel M tel que pour tout n entier naturel, M > U(n))

merci beaucoup!

Ok alors u_n croissante et majorée : elle est donc contenue dans un intervalle [I ; M] où I est par exemple u_0 et M est un majorant.

Soit m le milieu de [I ; M].

De deux choses l'une : ou bien tous les u_n sont compris dans [I ; m] à partir d'un certain rang (c'est le cas si le majorant choisi est "trop grand"), ou bien ils sont tous dans [m ; M], à partir d'un certain rang. Peu importe, on définit ainsi [a_1 ; b_1] comme étant l'intervalle qui contient tous les u_n à partir d'un certain rang. Sa longueur est la moitié de celle de l'intervalle précédent.

On prend le milieu de [a_1 ; b_1], et avec le même raisonnement, on crée un intervalle [a_2 ; b_2] de longueur moitié et qui contient tous les u_n à partir d'un certain rang.

Ainsi de suite... on forme une suite d'intervalles emboîtés dont la longueur est divisée par 2 à chaque fois. Les bornes des intervalles [a_i ; b_i] sont donc "de plus en plus proches". Cette suite d'intervalles va se réduire à la limite à ... un seul nombre x (un singleton) vers lequel tendra donc la suite.

ça reste qualitatif, quand même.