@mtschoon
Merci c'est vraiment super!

@mtschoon
Merci beaucoup pour votre réponse!

@Noemi
je n'en ai pas la moindre idée, mon niveau est vraiment catastrophique

@Noemi
Je n'ai répondu à aucunes questions car je n'y arrive pas.
Toutes les questions me posent problèmes.

@mtschoon
En effet, j'en suis désolée
Voici le début de l'énoncé:
Soit 𝐼 un intervalle. Le but de ce problème est la recherche des fonctions f, définies et dérivables sur 𝐼, qui
vérifient l’équation fonctionnelle (𝐸) suivante :
(𝐸) : pour tous 𝑎 et 𝑏 de 𝐼, 𝑓(𝑎𝑏) = 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏).
Autrement dit, on recherche toutes les fonctions qui transforment les produits en sommes sur un intervalle
donné.

Bonjour, je suis totalement perdue face au devoir maison que je dois rendre à la rentrée, quelqu'un pourrait-il m'aider?

voici le devoir maison en question:

1. La fonction nulle, 𝑓 = 0 sur 𝐼, est-elle solution de (𝐸) ?

2. Démontrer que si 𝑓 est solution de (𝐸), alors pour tout réel 𝑘, la fonction 𝑘𝑓 est aussi solution de (𝐸).

3. Dans cette question, on suppose que 0 ∈ 𝐼. Soit 𝑓 une solution de (𝐸).
   Démontrer qu’alors, pour tout 𝑏 ∈ 𝐼 : 𝑓(𝑏) = 0

4. À l’aide de valeurs de 𝑎 et 𝑏 bien choisies, démontrer que :
   𝑓(1) = 0

5. Soit 𝑎 ∈ 𝐼. On considère la fonction 𝑔𝑎 définie sur 𝐼 par :
   𝑔𝑎
   (𝑥) = 𝑓(𝑎𝑥) − 𝑓(𝑥)
   a. Justifier que 𝑔𝑎 est une fonction constante sur 𝐼 (on précisera la valeur de cette constante).

b. Donner deux expressions de 𝑔𝑎′(𝑥) pour tout 𝑥 ∈ 𝐼.

c. En déduire que pour tout 𝑥 ∈ 𝐼 :
𝑎𝑓′(𝑎𝑥) − 𝑓′(𝑥) = 0

6. On pose 𝑓′(1) = 𝑘. Exprimer 𝑓′(𝑎) en fonction de 𝑘 et de a.

7.** Soit 𝑓 une fonction définie et dérivable sur 𝐼 = ]0 ; +∞[ vérifiant (𝑆). Démontrer que 𝑓 vérifie (𝐸) (on
pourra utiliser la fonction 𝑔𝑎 définie à la question 5).

Je vous remercie d'avance pour vos réponses!