Calculer des intégrale et établir la la formule de Wallis

Bonjour, tout le monde!!!

je refais mes exos de cette année et y en a quelques uns que je bute et je ne comprends rien
j'espère que vous pourrez m'aider

Enoncé

On pose, pour entier naturel n

$in=∫0π/2,sin⁡nxdxi_n = \int_0^{\pi/2} , \sin^n x \text{d} x$

A l’aide d’une intégration par partie, montrer pour n strictement supérieur à 2 que

$in=n−1n×in−2i_n = \frac{n-1}n \times i_{n-2}$
(on pourra poser u(x)= $sin^{n-1}$ x)

Calculer $I_0$ et $I_1$ , puis montrer par récurrence que si n ≥1 on a

$i2n=1×3×5×⋯×(2n−1)2×4×6×⋯×(2n)×π2i_{2n} = \frac{1\times3\times5\times\cdots\times(2n-1)}{2\times4\times6\times\cdots\times(2n)} \times \frac{\pi}2$

et pour n ≥ 1 on a

$i2n+1=2×4×6×⋯×(2n)1×3×5×⋯×(2n−1)×12n+1i_{2n+1} = \frac{2\times4\times6\times\cdots\times(2n)}{1\times3\times5\times\cdots\times(2n-1)}\times\frac1{2n+1}$

3.a) De l’égalité
$in=∫0π/2sin⁡nxdx,i_n= \int_0^{\pi/2} \sin^n x \text{d}x,$
montrer que $I_n$ - $I_{n+1}$ est l’intégrale d’une fonction positive.

En déduire que la suite(In) est décroissante.

b) Etablir que $I_n$ est strictement compris entre (n-1)/n $I_{n-1}$ et $I_{n-1}$

(on pourra utiliser 1).

Comparer $I_{n-2}$ et $I_{n-1}$ .

c) Montrer alors que

$lim⁡i2n+1i2n=1\lim \frac{i_{2n+1}}{i_{2n}} = 1$

d) Etablir la formule de Wallis :

$lim⁡n→+∞,(2×4×6×⋯×(2n)1×3×5×⋯×(2(n−1))2×12n+1=π2\lim_{n\to+\infty} , \left(\frac{2\times4\times6\times\cdots\times(2n)}{1\times3\times5\times\cdots\times(2(n-1)}\right)^2 \times \frac1{2n+1} = \frac{\pi}2$

Merci d'avance

NdZ : re-travail du code... quel bazar ! mais au moins c'est plus lisible.

Salut samie,

Qu'as-tu fait pour le moment ? Vois-tu comment réaliser l'intégration par partie ?

je n'ai encore rien fait car je n'y arrive pas dès la 1ère question :
oui je me souviens de l'intégration par partie mais j'ai juste un problème avec sin²x, je ne sais pas comment dériver ça!
est ce que $sin^n$ x=(1+cos2n)/2?

Ps: merci d'avoir modifié le message : c'est beaucoup plus jolie

pourquoi sin²(x) ? Ici d'après l'indication on pose $u(x)=sin^{n-1}$ (x), et donc v'(x)=... ?
Ensuite il faut dériver $u(x)=sin^{n-1}$ (x), pour ce faire il faut se souvenir de la dérivation de fonctions composées : ici, si tu poses f(x)=sin(x) et $g(x)=x^{n-1}$ , tu as u(x)=g(f(x)) que tu peux alors dériver grâce à la formule de dérivation des fonctions composées...
Il faudra ensuite que tu intègres v' pour pouvoir utiliser la formule d'intégration par partie !

pourquoi on pose u(x)= $sin^{n-1}$ et non pas $sin^n$ ?

v'(x)=x et v(x)=1/2 x²
est ce que u'(x)=g'(f'(x))?

samie
v'(x)=x et v(x)=1/2 x²
est ce que u'(x)=g'(f'(x))?

non c'est pas le bon v'(x)
regarde bien ,il faut avoir $I_n$ =∫ $sin^{n-1}$ (x)×v'(x)dx
donc v'(x)=...

Bonjour

Il faut juste savoir que

$sinn(x),=,(sin(x))n,=,(sin(x))n−1,×,,sin(x)\text{sin}^n(x),=, \left ( \text{sin}(x)\right)^n,=,(\text{sin}(x))^{n-1} , \times , , \text{sin}(x)$

Et en posant u(x) = $sin^{n-1 }$ (x) et v '(x) = sin(x)

on a bien $sinn(x),=,u(x),v′(x)\text{sin}^n(x),=,u(x),v'(x)$

et on peut faire une intégration par partie que je te laisse faire

Zorro
Bonjour

Il faut juste savoir que

$sinn(x),=,(sin(x))n,=,(sin(x))n−1,×,,sin(x)\text{sin}^n(x),=, \left ( \text{sin}(x)\right)^n,=,(\text{sin}(x))^{n-1} , \times , , \text{sin}(x)$

Et en posant u(x) = $sin^{n-1 }$ (x) et v '(x) = sin(x)

on a bien $sinn(x),=,u(x),v′(x)\text{sin}^n(x),=,u(x),v'(x)$

et on peut faire une intégration par partie que je te laisse faire

Merci Zorro d'avoir répondu à la place de samie qui devait normalement le savoir vu qu'elle a deja fait l'exo (vu que c'est un exo de revision)

A première vue , samie avait oublié les règles sur les puissances ! Un petit rappel du cours de 4ème ne fait de mal à personne !

merci, c'est sympa de m'avoir aidé ! je viens de comprendre ("mieux vaut tard que jamais")
'cet exo on l'a fait en contrôle,et ce n'est pas la peine que je vous dise que pour moi ce fut la catastrophe )
intégration pas parties:
posons $u(x)=sin^{n-1}$ (x) u' $x)=1/n<em>cos^{n-1}$
v'(x)=sin(x) v(x)=-cos(x)
u et v sons dérivables sur [0;π/2] et u' et v' sont continues sur [0; π/2]
In=∫$$_0$^{π$/2}$sin^{-n} $x$ dx=[sin $^{n-1}$ (x)-cos(x)] $_0$ ^{π/2} $- \int$ $_0$ ^{π$/2}$1/ncos^{n-1}$(x)-cos(x)
=0-1/n[-1/n $s i n$ ^{n-1} $(x) - s i n (x)]$ _0 $^{π/2}$
=1/n*(1/n)
je pense que j'ai loupé une étape car ce n'est pas le bon résultat?

Normal que ton résultat soit faux , u'(x) c'est faux !

Quelle est la dérivée de $w)^n$ ?

nw' $x)^{n-1}$
$ncos^{n-1}$ (x) ,?

Ah que non ! Il faut reprendre tes cours !

c'est pour ça que je retape!! mais c'est pas une raison pour que je n'y arrive pas:
$nw(x)^{n-1}$
c'est ce qui est écrit dans mon cour!

samie
c'est pour ça que je retape!! mais c'est pas une raison pour que je n'y arrive pas:
$nw(x)^{n-1}$
c'est ce qui est écrit dans mon cour!

revois bien les dérivées de composées de fonctions

Bon reprenons, je te donne la formule, je te laisse l'appliquer et la retenir le mieux possible (il faut que tu la connaisses) :
La dérivée de $w)^n$ est n*(w' $w^{n-1}$ (il s'agit en fait de la dérivée de :x->g(w(x)) où $g(x)=x^n$ , cette dérivée étant, d'après les formules de dérivation de fonctions composées : (w')*g'(w), ce qui te donne bien la formule précédente...)

merci de m'aider
j'essaye la dérivée:
u'(x)= (n-1)cos^(n-1)*sin^(n-2)?

samie
merci de m'aider
j'essaye la dérivée:
u'(x)= (n-1)cos^(n-1)*sin^(n-2)?
non

$u(x)= \sin^{n-1} (x)$

donc

$\times \sin^{n-2} (x) \times \cos (x)$

NdZ : lorsqu'il y a des symboles, exposants, dérivées (voire indices, intégrales...) c'est tout de même plus lisible en LaTeX, non ?

Prof_maths31
samie
merci de m'aider
j'essaye la dérivée:
u'(x)= (n-1)cos^(n-1)*sin^(n-2)?

non u(x)= $sin^{n-1}$ (x)
donc u'(x)= $n-1)*sin^{n-2}$ (x)*cos(x)

tu sais pourquoi c'est le bon u'(x) ça ?
réponse:
parceque la dérivée de $f(x))^n$ est $n*(f(x))^{n-1}$ ×f'(x)

Apprend cette formule par coeur, elle revient très souvent!!!

d'accord merci bien, je l'ai copié et recopié donc maintenant je pense que je la connais!
je recommence mon intégration par parties :
posons $u(x)=sin^{n-1}$ (x) u' $x)=(n-1)sin^{n-2}$ (x)cos(x)
v'(x)=sin(x) v(x)=-cos(x)
∫$$_0$^{π$/2}$sin^n $x d x =$ [sin $^{n-1}$ (x)*(-cos(x))] $_0$ ^{π/2}$ -∫ $_0$ $^{π$/2} $- c o s (x) (n - 1) s i n$ ^{n-2} $x)cos(x)(n-1)sin^{n-2}$ (x)cos(x)
$= 0 - [- s i n (x) (n - 1) (- c o s$ ^{n-2} $(x)) s i n (x)]$ _0 $^{π/2}$
est ce que c'est bon jusque là?

samie
d'accord merci bien, je l'ai copié et recopié donc maintenant je pense que je la connais!
je recommence mon intégration par parties :
posons $u(x)=sin^{n-1}$ (x) u' $x)=(n-1)sin^{n-2}$ (x)cos(x)
v'(x)=sin(x) v(x)=-cos(x)
∫$$_0$^{π$/2}$sin^n $x d x =$ [sin $^{n-1}$ (x)*(-cos(x))] $_0$ ^{π/2}$ -∫ $_0$ $^{π$/2} $- c o s (x) (n - 1) s i n$ ^{n-2} $x)cos(x)(n-1)sin^{n-2}$ (x)cos(x)
$= 0 - [- s i n (x) (n - 1) (- c o s$ ^{n-2} $(x)) s i n (x)]$ _0 $^{π/2}$
est ce que c'est bon jusque là?

non la deuxieme integrale est fausse c'est ∫uv' car ∫u'v = [uv] -∫uv'

∫ $s i n$ ^{n-1} $x)<em>sin(x)=[sin^{n-1}$ (x)(-cos(x)]-∫ $n-1)sin^{n-2}$ (x)cos(x)(-cos(x))
c'est mieux?

Oui ça c'est juste (à part qu'il manque les dx et les bornes d'intégrations...), il te reste à transformer un peu ça : tu peux déjà calculer ce qu'il y a entre crochet, puis pour ce qu'il y a sous l'intégrale, il faudrait pouvoir se ramener à $I_{n-2}$ , d'après l'énoncé, ça y ressemble un peu mais il y a un cos²(x) qui est un peu gênant, vois-tu comment procéder pour t'en débarasser ?

bon il reste à réecrire au propre (avec les bornes des intégrales
sachant que tu as deja trouver que le calcul de ce qu'il y a entre les crochets pris entre 0 et Pi/2 est nul)

donc tu obtient quoi pour le moment?

merci^^
= 0+∫$$_0$^{π$/2}$sin^{n-2}$(x)cos²(x)
je ne sais pas comment faire pour me débarasser de cos²x mais je sais que cos²(x)=(1+cos2x)/2 je ne sais pas si ça un rapport?

MIEUX VAUT UTILISER UNE AUTRE FORMULE AVEC $cos^2$ x et $sin^2$ x
tu en connais une ?

mais avant il fut que tu réecrives ce que tu as ecris car c'est incomplet

on a bien $I_n$ = (n-1) ∫ $sin^{n-2}$ (x) × $cos^2$ (x)

je connais que ça cos²x+sin²x=1

j'ai une petite question: quand on arrive à cette 2ème intégrale, lorsque l'on l'a met en crochets, faut il lui chercher une primitive?

Citation
je connais que ça cos²x+sin²x=1
Oui et c'est une formule très intéressante ici !

Quant à l'intégrale, je ne vois pas trop ce que tu veux dire par "lorsqu'on la met sous crochet", mais en tout cas chercher une primitive n'est pas une bonne idée, parce que vu l'allure de la fonction tu auras beaucoup de difficulté à trouver une primitive simple !

$s i n$ ^{n-2} $x)=sin^{n-4}$ sin²(x)
sin² $x)=1/sin^{n-2}$ (x)
non?

et bien réecrit simplement $I_n$ ci-dessous en écrivant $cos^2$ (x)= $1-sin^2$ (x)

$I_n$ = (n-1) ∫(sin $^{n-2}$ (x) × $cos^2$ (x))dx
donc In=...

ah ok j'étais dans les chouxx!
$I_n$ =(n-1)∫$$_0$^{π$/2}$(sin^{n-2}$(x)*(1-sin²(x))dx
=(n-1)∫ $sin^{n-2}$ (x) - sin²(x) dx
=(n-1)∫1 dx

samie
ah ok j'étais dans les chouxx!
$I_n$ =(n-1)∫$$_0$^{π$/2}$(sin^{n-2}$(x)*(1-sin²(x))dx
=(n-1)∫ $sin^{n-2}$ (x) - sin²(x) dx
=(n-1)∫1 dx

tu as faux a partir de la 2ème ligne

recalcule sachant que $sin^{n-2}$ (x) × $s i n$ ^2 $x)=sin^n$ (x)

(je te conseille de revoir le calcul de puissance)

oui je viens de revoir les règles de puissances:

$I_n$ =(n-1) ∫ $^{n-2}$ (x) - $sin^n$ (x)
est ce que c'est bon cette fois ci?

relis ce que ta ecris
c'est pas bon

toujours pas :frowning2:
In=(n-1)∫ $sin^n$ (x)(1/sin²(x)-1)
comme ça?

Non, mais je pense que tu avais voulu écrire le bon résultat quand tu écrivais :
Citation
I_n $= (n - 1) \int$ ^{n-2} $(x) -$ sin^n$(x)
sauf qu'il y a un sinus qui a du disparaître... Je te laisse corriger !

oups sorry:

$I_n$ =(n-1)∫$$_0$^{π$/2}$sin $^{n-2}$ (x)-sin^n$(x) dx
comme cela?

voilà ! ça c'est beaucoup mieux
Qu'est-ce tu pourrais en faire maintenant de cette intégrale ?, est-ce qu'elle ne ressemble pas un peu à quelque chose d'autre ?

je trouve que ça ne ressemble pas à la conclusion, peut-être qu'il faut l'intégrer?