Calculs de probabilités à propos d'un fumeur

[bully5]

bonjour,
voici mon dernier exercice de proba pour ma remise à niveau : je le trouve un peu corsé:

Un fumeur impénitent décide de ne plus fumer. On admet que s’il ne fume plus un jour donné, alors la probabilité qu’il ne fume pas le lendemain est de 0.3. Par contre s’il succombe un jour donné, la probabilité qu’il ne fume pas le lendemain est 0.9.
On se propose de calculer la probabilité Pn que cette personne ne fume pas le nième jour en fonction de n et de P1 ( probabilité qu’il ne fume pas le 1er jour) et d’examiner le comportement de P1 quand n devient grand.
On note Fn l’événement « la personne fume le nième jour. » alors $Pn=P(F{n}^{<}em>$) où $F{n}^{<}/em>$désigne l’événement contraire de Fn

1. que vaut $P(Fn$^$/F</em>n-1$); $P(Fn$^$/F${(n-1)}$){?}^{<}em>$
   P(Fn/F(n-1))=0,9
   P(Fn_/F(n-1)_)=0,3

2. Justifier que $F{n}^{<}em>$∩$F</em>n-1$ et $F{n}^{<}em>$∩$F${n-1}${}^{<}em>$forment une partition de $F{n}^{<}/em>$ et en déduire que, pour n>2, Pn=(1-P(n-1))*0.$9+P_{n-1}$*0.3 ou Pn=-0.$6P_{n-1}$+0.9

ma réponse:

$F{n}^{<}em>$∩ $F</em>n-1$ et Fn ∩$F${n-1}${}^{<}/em>$sont disjoint deux à deux pour tout événement Fn
$p(Fn)=p(F{n}^{<}em>$ ∩ $F${n-1}$+p(F{n}^{<}em>$∩ $F${n-1}$^_$=0.3*0.9

je pense pas que cela soit bon

3)On appelle xo la solution de l’équation xo=-0.6xo+0.9. Montrer que la suite de terme général Pn-xo est une suite géométrique de raison -0.6 et en déduire que P[n= ((-0.6)n*P1+xo.(1-(-0.$6{)}^n$)
je ne comprends pas

4. montrer que lim n tend vers +oo Pn=xo=0.5625 et interpréter le fait que cette limite ne dépend pas de P1

merci d'avance

[Prof_maths31]

salut,

ta reponse à la 1ere question est juste
passons a la deuxieme question
et bien ce que tu as dit est juste mais il faut ajouter l'explication en francais aussi:
il faut simplement dire en français ce qu'est Fn_
d'abord que Fn_ est l'évènement : la personne ne fume pas le nième jour, donc ici il se présente 2 cas distincts(ou disjoints):
soit la personne a fumé la veille (donc Fn_∩$F_{n-1}$)
ou soit la personne n'a pas fumé la veille (donc Fn_∩$F${n-1})

donc mathématiquement Fn_= Fn_∩$F_{n-1}$∪Fn_∩$F${n-1}

puis après c'est facile tu apllique la formule générale suivante
p(a∪b)=p(a) + p(b)- p(a∩b)
et tu auras besoin aussi de la formule suivante:
p(a/b)=p(a∩b)/p(b) (proba conditionelle)
ok?

[Prof_maths31]

alors où en es-tu ? arrive tu à déduire le résultat de Pn qui est donné dans l'énoncé de la question?

utilise d'abord la 1ère formule que je t'ai donnée
après on verra

[bully5]

ok ^^ merci
p(Fn-)= p(Fn-∩$F_{n-1}$)+p(Fn-∩$F_{n-1}$-)- P(Fn_/F(n-1))
comme ça?

[Prof_maths31]

bully5
ok ^^ merci
p(Fn-)= p(Fn-∩$F_{n-1}$)+p(Fn-∩$F_{n-1}$-)- P(Fn_/F(n-1))
comme ça?

presque:

c'est p(Fn_)= p(Fn_∩Fn-1)+p(Fn_∩Fn-1_) - p(Fn_∩Fn-1∩Fn_∩Fn-1_)

or Fn_∩Fn-1∩Fn_∩Fn-1_ = Fn_∩Fn-1∩Fn-1_∩Fn_ car on a le droit de commuter , en effet l'opération ∩ c'est comme la multiplication
on a la formule: A∩B=B∩A et aussi A∩B∩C=B∩C∩A
tu comprends...

bref donc comme Fn-1 et Fn-1_ sont des évènements incompatibles (par définition) alors leur intersections et vide donc
Fn_∩Fn-1∩Fn-1_∩Fn_ = ∅
d'où p(Fn_∩Fn-1∩Fn_∩Fn-1_) =0

donc au final, p(Fn_)= p(Fn_∩Fn-1)+p(Fn_∩Fn-1_)

et là tu dois calculer séprément p(Fn_∩Fn-1) et p(Fn_∩Fn-1_)
grace à la formule p(A∩B) = p(A/B) × p(B) ok
@ toi de jouer
voila mon adresse mail si t'as besoin d'aide:
qerbouza@gmail.com

[oli]

Bonsoir à tous,

Tant qu'à utiliser le fait que $F$n_∩$F</em>n-1$ et $F$n_∩$F${n-1}_ forment une partition de $F$n, on peut simplifier en écrivant directement :
$p(F$n) = $p(F$n_∩$F</em>n-1$) + $p(F$n_∩$F${n-1}_)

Car une formule bien connue nous dit que si $A_1$ et $A_2$ forment une partition de A, alors :
p(A) = $p(A_1$) + $p(A_2$)
Cela fonctionne avec tout type de partition (peu importe le nombre de sous-ensembles) et c'est un cas particulier de la formule des probabilités totales (dans les cours de terminale si mes souvenirs sont bons )

Par contre, il faut bien avoir démontré que $F$n_∩$F</em>n-1$ et $F$n_∩$F${n-1}_ forment une partition de $F$n
c'est-à-dire :

1. l'intersection est vide (disjoints) ;
2. l'union est l'ensemble $F$n

Bon courage pour la suite !

[bully5]

ok merci à vous ^^
mais le problème, ensuite c'est qu'on ne connait pas p(Fn-1)?

[oli]

Très juste, on ne le connaît pas...
Et tu as besoin de le connaître pour trouver le résultat qu'on te demande ?

[bully5]

oui pour calculer:
p(A∩B) = p(A/B) × p(B)
p(Fn_∩Fn-1)= p(Fn/Fn-1)*p(Fn-1)
non?

[oli]

Ok, c'est bien ça.
Maintenant, regarde attentivement le résultat qu'on te demande de trouver (question 2). Est-ce que tu crois que pour trouver ce résultat, il faut réellement connaître la valeur de $p(F_{n-1}$) ?

[bully5]

ok c'est bon maintenant merci mais pourquoi on remplace Fn par Pn:
p(Fn_∩Fn-1)+ p(Fn-∩Fn-1-)= p(Fn/Fn-1)p(Fn-1)+p(Fn_/Fn-1_)p(Fn-1_)
=0.3p(Fn-1)+0.9p(Fn-1_)
= 0.3p(Fn-1)+0.9(1-p(Fn-1))
ok?

[oli]

Le résultat est bon mais il y a une première erreur entre fin de $1^{\grave{e}re}$ ligne et $2^e$ ligne et une seconde (qui rétablit le résultat ) entre $2^e$ et $3^e$ ligne !

En fait, le problème prête à confusion car :
$F_n$ est l'événement : la personne fume le $n^e$ jour
$P_n$ = $p(F$n) : la probabilité que la personne ne fume pas le $n^e$ jour
Ça devrait corriger entre $2^e$ et $3^e$ ligne.

Pour le reste, revoie bien les valeurs de $p(F$n$/F</em>n-1$) et $p(F$n$/F${n-1}_), il semble qu'il y ait une inversion :razz:

Une fois que tu auras posté le résultat au propre, tu peux continuer sur la question 3

[bully5]

p(Fn_)=(Fn_∩Fn-1)+ p(Fn-∩Fn-1-)= p(Fn/Fn-1)Pn-1_+p(Fn_/Fn-1_)Pn-1
=0.9Pn-1_+0.3Pn-1
=0.9(1-Pn-1)+0.3Pn-1
c'est mieux comme ça?
3) j'avais l'habitude de montrer que c'est une suite géométrique x1 en fonction de xo mais je vois que là ce n'est pas possible?

[oli]

Oui, c'est beaucoup mieux !
Attention par contre, fin de $1^{\grave{e}re}$ ligne, tu n'as pas le droit d'écrire : $P${n-1}
$P_{n-1}$ est un nombre donc tu ne peux pas mettre de barre sur un nombre comme sur un événement :frowning2:

Je te détaille le début du calcul pour gagner du temps car tu as compris le principe :
$P_n$ = $p(F$n)
= $p(F$n_∩$F</em>n-1$) + $p(F$n_∩$F${n-1})
= $p(F$n$</em>/F</em>n-1$) * $p(F_{n-1}$) + $p(F$n$</em>/F${n-1}) * $p(F${n-1})
= $p(F$n$</em>/F_{n-1}$) * (1 - $p(F${n-1})) + $p(F$n$</em>/F${n-1}) * $p(F${n-1})
Et là en utilisant le fait que $P_{n-1}$ = $p(F${n-1}), ça donne
$P_n$ = $p(F$n$</em>/F_{n-1}$) * (1 - $P_{n-1}$) + $p(F$n$</em>/F${n-1}) * $P_{n-1}$
Et le reste du calcul tu l'as...

En fait pour la fin de la 2) (ce n'est pas tout à fait fini !) tu peux encore transformer le résultat en développant.
Ensuite, ça devrait faire justement apparaître des "choses intéressantes" pour la 3)

[Prof_maths31]

oli
Oui, c'est beaucoup mieux !
Attention par contre, fin de $1^{\grave{e}re}$ ligne, tu n'as pas le droit d'écrire : $P${n-1}
$P_{n-1}$ est un nombre donc tu ne peux pas mettre de barre sur un nombre comme sur un événement :frowning2:

Je te détaille le début du calcul pour gagner du temps car tu as compris le principe :
$P_n$ = $p(F$n)
= $p(F$n_∩$F</em>n-1$) + $p(F$n_∩$F${n-1})
= $p(F$n$</em>/F</em>n-1$) * $p(F_{n-1}$) + $p(F$n$</em>/F${n-1}) * $p(F${n-1})
= $p(F$n$</em>/F_{n-1}$) * (1 - $p(F${n-1})) + $p(F$n$</em>/F${n-1}) * $p(F${n-1})
Et là en utilisant le fait que $P_{n-1}$ = $p(F${n-1}), ça donne
$P_n$ = $p(F$n$</em>/F_{n-1}$) * (1 - $P_{n-1}$) + $p(F$n$</em>/F${n-1}) * $P_{n-1}$
Et le reste du calcul tu l'as...

En fait pour la fin de la 2) (ce n'est pas tout à fait fini !) tu peux encore transformer le résultat en développant.
Ensuite, ça devrait faire justement apparaître des "choses intéressantes" pour la 3)

[oli]

Merci Prof_maths !
Je suis passé par là et je file un coup de main pour éviter de passer 3 jours sur le même problème. Mais inversement, n'hésite pas à prendre la main sur qqch que j'ai commencé si je laisse en suspend

A toi de jouer Bully...

[bully5]

merci bien^^ c'est gentil
Pn=-0.6Pn-1+0.9
Pn+1= -0.6Pn+0.9
ensuite je ne sais pas quoi faire avec ça!!

[oli]

Oui, c'est bien.
Donc tu as bien une suite récurrente $(P_n$ est défini en fonction de $P_{n-1}$).
Cette suite est de quel type ? Que sais-tu sur les suites de ce type ?

[bully5]

Pn= $-(P_{n-1}$-0.9)/0.6
$Pn=-(P_{n-1}$)/0.6- 0.3/0.2
dans l'énoncé il parle de suite géométrique
$Pn=Po\ast q^n$

[oli]

Euh, tu t'égares j'ai l'impression quand tu dis :
$P_n$ = $-(P_{n-1}$ - 0.9) / 0.6
Je ne sais pas comment tu tombes sur ce résultat.

C'est quoi une suite géométrique d'après toi ? tu connais d'autres genres de suite ? Si tu ne te rappelles plus je te donnerai d'autres indices...

[bully5]

on oublie alors^^
tous les termes sont liés par des puissances, oui je connais une autre suite particulière(suite arithmétique) mais je ne vois pas le rapport avec?

[oli]

Oui, on oublie

En fait tu as deux types de suites récurrentes très connues.
Si on choisit $u_0$ (terme de départ), pour n > 0
Suite arithmétique :
$u_n$ = $u_{n-1}$ + r (où r est un nombre)
(pour passer d'un terme au suivant, on ajoute "r")

Suite géométrique :
$u_n$ = q * $u_{n-1}$ (où q est un nombre)
(pour passer d'un terme au suivant, on multiplie par "q")

Alors là, est-ce qu'on est dans un cas de suite arithmétique, géométrique, ou .......encore autre chose ?

[bully5]

euhhhhhh.... peut-être autre chose?

[oli]

Oui, en fait, si tu regardes bien c'est un mélange des deux. Pour passer de $P_{n-1}$ à $P_n$ on multiplie $P_{n-1}$ par un nombre et on ajoute encore un nombre au résultat...
$P_n$ = -0.$6P_{n-1}$ + 0.9

Quand c'est un mélange des deux (on appelle ça une suite "arithméco-géométrique), on ne sait pas faire, alors on essaie de se ramener à une suite géométrique. C'est le but de la question 3.

On te propose de trouver un certain nombre qu'on appelle $x_0$. C'est un nombre qui vérifie l'équation suivante :
$x_0$ = -0.$6x_0$ + 0.9

Tu peux déjà résoudre l'équation pour trouver ce que vaut $x_0$.

Ensuite, il est intéressant de calculer $P_n$ - $x_0$. Si en plus on utilise le fait que $x_0$ = -0.$6x_0$ + 0.9, on peut se ramener à une suite géométrique...

Je te laisse avec ça et je reprends la discussion demain matin.
Bonne nuit !

[bully5]

merci , je ne connaissais pas du tout
xo=0.9/1.6=9/16

quand on compare les deux équations:
$P_{n+1}$= -0.$6P_n$+0.9
xo=-0.6xo+0.9
on dirait que xo=Pn=Pn+1??
pour Pn-xo faut il résoudre un système?

[kanial]

Comme oli est au lit (désolé...), je vais reprendre...

Citation
on dirait que xo=Pn=Pn+1??
Ouh la la non !! Tu as été un peu vite là...

Ce n'est pas vraiment résoudre un système, mais à partir des deux équations que tu as écrites, tu peux faire une combinaison linéaire judicieuse qui pourrait te faire apparaître $P$n$-x_0$ d'un côté (et $P${n+1}$-x_0$ de l'autre...)

[Prof_maths31]

Re,
maintenant ^pose $Q$_n$=P$n$-x_0$
et calcule $Q</em>n+1$ en fonction de $Q_n$

ok et essaie de montrer que $(Q_n$) est une suite géometrique (c'est ce qui est demandé..)

[Prof_maths31]

c'est mieux de prendre ma méthode car $P_n$ tu sais ce que c'est en fonction de $P_{n-1}$

kanial (lol)

donc tu sais aussi exprimer $P_{n+1}$ en fonction de $P_n$ , donc tu sais aussi exprimer $Q_{n+1}$ en fonction de $Q_n$

en fait les 2 méthodes sont les memes... sauf que moi j'essaie de te ramener à quelquechose que tu connais déjà , à savoir la suite géométrique !

[kanial]

Lol effectivement les deux méthodes reviennent au même, la façon de procéder de prof_maths est effectivement mieux si tu veux être sure de ce que tu fais, tu pourras utiliser ma méthode quand tu auras un peu plus d'assurance là-dessus pour gagner un peu de temps !

[bully5]

$Q${n+1}$=P</em>n+1$-xo
=-0.6Pn+0.9-(-0.6xo+0.9)
=0.6(xo-Pn)

[bully5]

ok ^^ merci

[Prof_maths31]

de rien ...
et la tu reconnais que 0.6( $x$_0$-P_n$ ) = ....? ( en fonction de $Q_n$)

[bully5]

=(1/6)Qn

[Prof_maths31]

bully5
=(1/6)Qn

non , regarde bien
on sait que $Q_n$= $P$_n$-x_0$

donc quelle est la relation entre $P$_n$-x_0$
et $x_0$- $P_n$ ?

[Prof_maths31]

je te rapelle ce à quoi tu dois arriver:

"Montrer que la suite de terme général Pn-xo est une suite géométrique de raison -0.6 et en déduire que P[n= ((-0.6)n*P1+xo.(1-(-0.6)n)"

alors? tu as tout...

[bully5]

un changement de signe: je n'avais pas vu: Qn=-1/6

[Prof_maths31]

deja tu as ecrit ceci donc fini ce calcul:

Qn+1=Pn+1-xo
=-0.6Pn+0.9-(-0.6xo+0.9)
=0.6(xo-Pn)
=... (en fonction de $Q_n$)

je peux pas t'aider plus jcrois....

[bully5]

-0.6Qn

[Prof_maths31]

attention 1/6 ≠ 0.6

[bully5]

oui je me suis trompée :rolling_eyes: