Donner l'expression de Un en fonction de n et étudier sa convergence et sa limite

Bonjour tout le monde, si je poste ce message c'est que je galère pour un de mes exercices de maths et j'ai l'espoir que vous m'aidiez a le faire ( svp ). Voici l'énoncé :
Soi p le nombre réel ayant pour écriture décimale infinie p = 2,135 135 ... 135 ... 135
On définit la suite (Un) en posant, pour tout n > 0 Un = 2 + (135/10^3) + (135/10^6) + ... + (135/10^3n)
a) Calculer U1 et U2. Exprimer Un en fonction de n
b) Montrer que (Un) converge et déterminer sa limite
c) En déduire, en admettant que p est la limite de la suite (Un), que p est un nombre rationnel et donner son écriture fractionnaire. Vérifier le résultat obtenu.

Pour le a) j'ai U1 = 2,135 et U2 = 2,135135 et je trouve Un+1 = Un + (135/10^3n) mais je parvient pas a trouver la forme Un, quand au reste c'est le flou :S.
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Bonsoir,

Que peut-on dire des termes de la suite : (135/10^3) + (135/10^6) + ... + (135/10^3n) ?

Il y'a seulement n qui les sépare nn ?

Si on prend chacun des termes composant cette somme, quel type de suite trouve t-on ?

Hum...Je ne vois pas du tout ou tu veut en venir :S

Comment calcule t-on la somme des termes d'une suite ?

Grâce à une formule qui change selon si elle est géométrique ou arithmétique non ?

OUI

Mais la forme de cette suite ne correspond pas à celles que j'ai déja vu donc je ne sait pas laquelle prendre De vu je dirais somme car on ajoute toujours 0,....135 mais je ne vois pas ou tu veut en venir

Quelle relation entre 135/10^3 et 135/10^6 ?

135/10^3 c'est pour n=1 et 135/10^6 pour n=2 mais je viens de comprendre que Un+1=Un+(135x10^-3n) cela peut m'être utile ?

Il faut exprimer la somme des termes en fonction de n.

ça je l'avais compris ^^ mais c'est justement la le problème je vois pas comment faire, je sait que 135x10^-3n va nous donner le dernier 135 mais je voit pas comment intégrer tout ceux d'avant

salut

pardon pour l'incruste

2 + 135 × 10^{-3} × (1 +10^{-1} + 10^{-2} + ... + 10^{-n})

où tu repères la somme des termes d'une suite géométrique, non ?

(135/10^3) + (135/10^6) + ... + (135/10^3n)=
135/10³ ( 1 + ....+ ... + ....)
A compléter

Euh j'ai testé la formule que tu donne Zauctor pour n=2 ou l'on devrait obtenir 2.135135 mais je n'obtient pas ça ~~ Pareil pour ta formule noemi :S je m'embrouille de plus en plus ...

(135/10^3) + (135/10^6) + ... + (135/10^3n)=
135/10³ ( 1 + ....+ ... + ....)
Essaie de compléter les ....

(1+2+...+n) ?

Non
C'est 1 + 1/10³ + 1/10^6 + .....+ 1/10^(3(n-1))

Ah ok donc ça donne Un=2 + 135/10³(1 + 1/10³ + 1/10^6 + .....+ 1/10^3(n-1)) mais n'existe t'il existe pas une forme plus simple ?

Si tu simplifies la parenthèse en vérifiant que c'est la somme des termes d'une suite ........

La suite ce serait Vn = 1x(1/1/10³)^n ? Si oui la somme serait (1-(1/10³ $^{n+1}$ )/(1-(1/10³)) ?

c'est le raisonnement mais attention, tu as n-1 termes et non n termes.

Humm Donc j'ai Vn = 1x(1/1/10³)^n-1 et la somme serait (1-(1/10³ $^n$ )/(1-(1/10³)) ?

oui, mille excuses ! j'avais omis le "1+" dans mon post de 21:49.

dsl

Mon précédent post est-il bon ?

Oui ta réponse est correcte.

Bien, je te laisse étudier la convergence puis la limite.

Donc si je marque Un = 2 + 135/10³(1-(1/10³)n)/(1-(1/10³)) c'est suffisant ? J'avais déja commencé la convergence et j'ai noté :
|p-Un| < 10 * 10^(-3n)
soit
|p-Un| < 10^(-3n+1)

soit epsilon aussi petit que l'on veut
il exite un a plus grand que 2 dans N tel que 10^-a < epsilon
dans ce cas, 10^(-3a+1) < 10^-a < epsilon

si l'on choisi n = a, on a
|p-Un| < 10^(-3n+1) < epsilon

Cela suffit t'il ? Et pour la limite je ne voit pas trop quoi mettre ~~

Calcule la limite de l'expression que tu as trouvée pour Un.