Limites de suites : suites adjacentes



  • Hello tout le monde, nous venons de commencer le chapitre sur les limites de suites, et j'ai jamais été très familier avec les suites, voilà je suis sur un exo et je ne sais mais vraiment pas du tout comment répondre à la question suivante qui est la 1er de mon exo (:p) :
    Soit les deux suites u et v définies par la donnée de u0u_0 et v0v_0 (u0(u_0 < v0v_0) et les relations de récurrence :
    un+1u_{n+1} = (2un(2u_n + vnv_n)/3 et vn+1v_{n+1} = (un(u_n + 2vn2v_n)/3

    1. Démontrer que la suite v-u est une suite géométrique.Donner la limite de cette suite.

    Merci pour vos réponses !!


  • Modérateurs

    Bonsoir,

    Détermine vn+1v_{n+1} - un+1u_{n+1}



  • salut

    sans me lancer dans le détail des calculs, le principe est toujours le même dans ce genre d'exercice :

    à l'aide de la définition, écris Vn+1V_{n+1} - Un+1U_{n+1} puis, l'objectif étant d'obtenir un certain coefficient fois VnV_n - UnU_n il va falloir procéder à qq transformations pour simplifier l'expression et faire sortir ce coefficient.

    doublon - pb de lenteur d'affichage !



  • Je trouve (un(-u_n + vnv_n)/3
    Que faire avec ce résultat ? Je suis un peu perdu je m'en excuse...


  • Modérateurs

    Oui,

    Si on écrit wn+1w_{n+1}= vn+1v_{n+1} - un+1u_{n+1}
    Alors wn+1w_{n+1} = .....wnw_n
    Soit ....



  • Alors wn+1w_{n+1} = (1/3)wn(1/3)w_n
    Soit la suite v-u une suite géométrique de raison 1/3
    Est-ce juste ??


  • Modérateurs

    Oui c'est la solution.



  • YEAAAH I GOT IT !!
    Maintenant pour la limite mon raisonnement peu peut-être sembler être un petit peu tiré par les cheveux mais le voici : La limite de wnw_n est 0 car la raison q=1/3 de la suite wnw_n tend vers 0.


  • Modérateurs

    Oui la limite est 0 car la raison 1/3 < 1.

    Bonne nuit



  • La question 2 est celle-ci : Prouver que la suite u est croissante et que la suite v est décroissante.
    Il est assez tard et je n'ai pas trop envie de prendre votre temps, alors si cela vous conviens j'aimerai juste que vous me donniez la méthode pour déterminer la croissance de u et la décroissance de v.


  • Modérateurs

    La limite tend vers 0 et tu sais que unu_n<vnv_n
    Compare un+1u_{n+1} avec unu_n
    et vn+1v_{n+1} avec vnv_n



  • OK merci, désolé j'avais pas vu vôtre bonne nuit, merci encore et à très bientôt , Bonne nuit .


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