Etudier une fonction rationnelle à l'aide des dérivées en 1ère S

Bonjour*** Ajout de Zorro***

Voici un problème de maths que je n'arrive pas à bien comprendre...

Soit f la fonction définie sur R (réels) \ {-1}

$f(x)=2x3+2x2−10x+52(x−1)2f(x)=\frac{2x^3+2x^2-10x+5}{2(x-1)^2}$

On appelle C la courbe de représentation dans un repere orthonormé.

Montrer qu'il existe deux réels a et b tels que pour tout réels $\neq 1$ :
$f(x)=x+a+b(x−1)2f(x)=x+a+\frac{b}{(x-1)^2}$
montrer que le point I(1;4) est centre de symétrie pour la courbe C
Dresser le tableau de variation dela fonction f sur l'intervalle ] 1 ; + $∞\infty$ [
Etudier la position relative de C et de la droite déquation $y = x + 3$ sur l'intervalle ] 1 ; + $∞\infty$ [
La fonction f admet-elle des extréma sur ] 1 ; + $∞\infty$ [ ? Et sur R (réels)

Merci d'avance*** Ajout de Zorro***

pffffff peut-être que si on te donnait la solution complète et détaillée tu comprendrais mieux qu'il faut apprendre son cours et s'en servir...

Salut,

Pour la 1ère question, utilise L'identification pour une fonction rationnelle

Pour la suite, précise-nous plus à quelle question tu es bloqué et ce que tu arrives à faire, sauf si tu souhaites recevoir d'autres réflexions similaires à celle de Bertoche.

Merci du lien j'ai réussi la question 2. mais je n'ai rien compris à la question une étant donné que j'ai raté les cours de la derniere semaine avant les vacances
Je continue à faire les autres questions

PS: merci beaucoup Bartoche pour ton soutien

Bartoche on aura tout vu !!!

Si tu veux de l'aide utile, il te faut préciser ce que tu as déjà fait et comment, demander les questions qui te gênent et pourquoi, aussi dire ce que tu sais de ton cours etc ...
Bref il faut montrer que tu t'es déjà pas mal investi dans des recherches qui n'ont pas abouti de manières satisfaisantes.
Sinon c'est juste un truc tout prêt à consommer que l'on va te donner et au final tu n'en garderas pas grand chose...

Je comprends très bien Bertoche (désolé) .
Pour la question 1. j'en arrive à :

$2x^3+(4+2a)x^2+(2+4a)x+(2a+b)=2x^3+2x^2-10x+5$

Mon problème c'est que par identification je trouve
4+2a=2 => a=-1et
-10=2+4a => a=-3
Pour rappel dans mon énoncé il me demande de montrer uniquement 2 réels a et b

De plus pour la question 3. pour le tableau de variations je trouve la fonction dérivée :
$f′(x)=40x2−12x−4024x2+16x+4f'(x)=\frac{40x^2-12x-40}{24x^2+16x+4}$
Or dans ce cas-la le discriminant du dénominateur $δ=b2−4ac=162−4<em>24</em>4=−128\delta =b^2-4ac=16^2-4<em>24</em>4=-128$

Or il est inferieur à 0 donc il n'y aurait pas de solutions...
J'ai du mal à comprendre...

Bonjour,

Pour la question 1, des erreurs de signe lors du calcul pour mettre l'expression au même dénominateur.

Pour la dérivée, le résultat indiqué est faux

pour tout réel $\neq 1$ :
$x+a+\frac{b}{(x-1)^2} \ =\frac{(x+a)(x-1)^2+b}{(x-1)^2} \ =\frac{(x+a)(x^2-2x+1)+b}{(x-1)^2} \ =\frac{x^3+(a-2)x^2+(1-2a)x+a+b}{(x-1)^2}\ \ =\frac{2x^3+2(a-2)x^2+2(1-2a)x+2(a+b)}{2(x-1)^2} \$
en identifiant les coefficients des polynômes $2x^3+2(a-2)x^2+2(1-2a)x+2(a+b)$ et $2x^3+2x^2-10x+5$ , on obtient le système ...

pour les variations :

il n'est peut-être pas utile de dériver si l'on remarque f est la somme des 2 fonctions croissantes sur ]1;+oo[
(il y a un peu de travail à faire pour bien écrire la justification des variations de la 2nde)

sinon on peut dériver mais plutôt avec la forme obtenue à la question 1°)
(attention de ne pas trop développer pour une rédaction plus élégante)

sinon un delta négatif signifie juste que le trinome n'a pas de racines réelle et garde un signe constant sur R (qui est le même que le signe de ...)

J'ai recommencé le 1. et j'ai trouvé la bonne réponse.
Pour ce qui est de la fonction dérivée je l'ai refait et j'en ai trouvé une encore plus complexe :

$f′(x)=32x3+56x2−92x−16x3+24x2−16x+4f'(x)=\frac{32x^3+56x^2-92x}{-16x^3+24x^2-16x+4}$

Note : je n'avais pas vu vos messages entretemps et j'ai donc utilisé la fonction de l'énoncé avec la formule de mon cours :

$(uv)′(x)=u′(x)×v(x)−u(x)×v′(x)v2(x)(\frac{u}{v})'(x)=\frac{u'(x)\times v(x)-u(x)\times v'(x)}{v^2(x)}$

Demain j'aissayerai avec :

$f(x)=x+a+b2(x−1)2=x+3+−12(x−1)2f(x)=x+a+\frac{b}{2(x-1)^2}=x+3+\frac{-1}{2(x-1)^2}$

Car j'ai trouvé au 1. que a=3 et b=-1 (avez-vous trouvé pareil ?)

Bonne soirée

pour la dérivée (dont on veut connaitre le signe) il faut chercher à factoriser plutôt que développer...

je n'ai pas regardé mais la tienne est clairement fausse au dénominateur qui doit être égal à ${(x-1)}^3$
et ton numérateur me parait suspect mais s'il était correct on pourrait le factoriser par $x$

DHUODA

$f(x)=x+a+b2(x−1)2=x+3+−12(x−1)2f(x)=x+a+\frac{b}{2(x-1)^2}=x+3+\frac{-1}{2(x-1)^2}$
Car j'ai trouvé au 1. que a=3 et b=-1 (avez-vous trouvé pareil ?)

$f(x)=x+3+−1/2(x−1)2f(x)=x+3+\frac{-1/2}{(x-1)^2}$
(car on a trouvé au 1. que a=3 et b=-1/2 pour être plus exact)
sinon remarquer que $f = u + v$
avec $u (x) = x + 3$ et $v(x)=−1/2(x−1)2v(x)=\frac{-1/2}{(x-1)^2}$
aurait pu être assez élégant mais ici $u$ et $v$ n'ont pas les même variations... donc inutile de s'embarquer dans cette voie !
pour la dérivée à partir de $f=u+−1/2v2f=u+\frac{-1/2}{v^2}$

avec $u (x) = x + 3$ et $v (x) = x - 1$

on obtient $f′=u′+−1/2∗2v′vv4=u′+v′v3f'=u'+\frac{-1/2*2v'v}{v^4}=u'+\frac{v'}{v^3}$

DHUODA
2. montrer que le point I(1;4) est centre de symétrie pour la courbe C

y a comme un problème avec cette question car C n'admet pas de centre de symétrie (lorsqu'on regarde l'écran de sa calculatrice) !
es-tu certaine de l'écriture de $f (x)$ de l'énoncé ?

DHUODA
2. montrer que le point I(1;4) est centre de symétrie pour la courbe
C'est mot pour mot l'énoncé...

Mais il y a d'autres problemes...
Au début la fonction est définie sur R -{-1}
Or cela devrait etre R-{1}

A la question 1. aussi le denomimateur est (x-1)^2 au lieu de 2(x-1)^2...

J'ai refait la question 1. et j'ai quand meme trouvé a=3 et b=-1

j'avais remarqué pour le -1 mais je m'étais dit que c'était une erreur d'écriture de ta part sur le forum...

pour le 2, c'est normal au regard des différentes écritures

Comment se fait-il que je trouve b=-1 ?

après avoir un peu réfléchi (c'est un peu long et compliqué à te faire comprendre mais il fallait avoir une somme de coefficients nuls pour le numérateur), tu verras que ton prof va te dire que la bonne fonction était définie sur R{1} par $f(x)=2x3+2x2−9x+52(x−1)2f(x)=\frac{2x^3+2x^2-9x+5}{2(x-1)^2}$
ou alors c'est toi qui lui dira !

DHUODA
Comment se fait-il que je trouve b=-1 ?
après avoir résolu ton système de 3 équations à 2 inconnues ???
avec a = 3, on a 2(a+b)=5 équivaut à b=-1/2

Bertoche

pour la dérivée à partir de $f=u+−1/2v2f=u+\frac{-1/2}{v^2}$

avec $u (x) = x + 3$ et $v (x) = x - 1$

on obtient $f′=u′+−1/2∗2v′vv4=u′+v′v3f'=u'+\frac{-1/2*2v'v}{v^4}=u'+\frac{v'}{v^3}$

Avec cela je trouve la fonction dérivée :

$f(x)=1+1(x−1)3f(x)=1+\frac{1}{(x-1)^3}$

Qui est forcément positive donc ma fonction est croissante sur $]1;+∞[]1;+\infty[$

Le tableau devrait ressembler à ça :

| x | $+ 1$ $−∞-\infty$
| f'(x) | || +
| f(x) | ||

Est-ce juste ?

Bonjour,

La dérivée est juste.

Dans le tableau de variation, pourquoi ce 0 à x entre 1 et +∞ ??

Oui désolé j'ai modifié cela avant votre message le 0 est inutile.

Donc c'est juste. Tu peux noter les limites pour f.

Pour ce qui est de la position relative de C par rapport a $y = x + 3$ , je vois clairement que sur l'intervalle $]1;+∞[]1;+\infty[$ , les fonctions $f$ et $y$ se rejoignent mais de la à l'étudier et le démontrer ( ) c'est une autre affaire

Noemi
Donc c'est juste. Tu peux noter les limites pour f.

Que voulez-vous dire par noter les limites ?

Dans le tableau de variation, avec une flèche qui monte, j'avais l'habitude de donner la valeur au départ et à l'arrivée.

Pour la position de la courbe C par rapport à la droite d'équation y = x+3, étudie le signe de f(x) - y.

Je dois développer $2x3+2x2−10x+52(x−1)2−(x+3)\frac{2x^3+2x^2-10x+5}{2(x-1)^2}-(x+3)$ en mettant au même dénominateur ?

Bonjour,

Tu n'as pas une écriture plus simple pour la fonction f ?

Exact j'ai :

$f(x)=x+3+−1/2(x−1)2f(x)=x+3+\frac{-1/2}{(x-1)^2}$

Exact j'ai :

$f(x)=x+3+−1/2(x−1)2f(x)=x+3+\frac{-1/2}{(x-1)^2}$

Mais avec :

$2x3+2x2−10x+52(x−1)2−(x+3)\frac{2x^3+2x^2-10x+5}{2(x-1)^2}-(x+3)$

Aunominateur les $x^3$ , $x^2$ et les $x$ s'annulent et je retrouve :

$−12(x−1)2\frac{-1}{2(x-1)^2}$

Donc si tu fais :
(x+3) +(-1/2)/(x-1)² - (x+3)
tu trouves
(-1/2)/(x-1)²

Quel est le signe de cette expression si x > 1 ?
Et tu conclus sur la position de la droite par rapport à la courbe.

Si $x$ est >1, le signe de l'expression est négatif mais étudier la position relative sur l'intervale $]1;+∞[]1;+\infty[$

La soustraction correspond à l'équation de la courbe mois l'équation de la droite. Le résultat obtenu est négatif, cela veut dire que la courbe est :
au dessus ou en dessous de la droite ?

Ah !
En dessous ?

Je ne sais par contre toujours pas ce qu'est un extrema ?

Un extréma, c'est un maximum ou un minimum.

D'accord mais $f (x)$ est droite et croissante sur $]1;+∞[]1;+\infty[$

Par contre sur R (réels), 1 est interdit mais aux alentours de 1 il y a un minimum non ?

Sur ]-oo ; 1[, Pas un minimum, un maximum, étudie le signe de la dérivée.