Déterminer les limites d'une fonction, le centre de symétrie de sa courbe et démontrer qu'une droite lui est asymptote

Bonjour,
Alors voilà j'ai un soucis avec l'exercice que j'ai sous les yeux :

On a une fonction définie sur R f(x) comme suit :
f(x) = x-2+(-4x+8/x²-4x+9)
qui peut egalement s'ecrire
f(x) = (x³-6x²+13x-10)/(x²-4x+9)

Etudier sa limite en -inf et +inf.
Moi je trouve qu'il s'agit d'une forme indéterminée de la forme +inf/+inf
Donc lim en +inf de f(x) = lim en +inf de x³/x² = +inf
et lim en -inf = - inf.
Est-ce juste ?
Démontrer que le point A de coordonnée (2;0) est centre de symétrie de la courbe C.
Comment faire ?
a) Demontrer que la droite D d'équation y=x-2 est asymptote à la courbe C.
b) Etudier les positions relatives de C et D
Tracer la droite D puis C.

Merci d'avance de votre aide.

Bonjour,

juste
Effectue un changement de variable X = x + 2 et Y = y et montre que la fonction Y = f(X) est impaire
(Ou utilise : La courbe Cf admet le point I(a, b) comme centre de symétrie
si et seulement si quel que soit h tel que a + h et a - h appartiennent à Df, alors
f(a + h) + f(a - h) = 2b. )
a) Etudie la limite de f(x) - y quand x tend vers +∞
b) Etudie le signe de f(x) - y.

Je ne comprends pas l'utilité du Y . :S
Et, sinon, pour l'étude des limites, on voit que il s'agit d'une forme indeterminée en -inf/+inf. Comment fait-ton après lorsque l'on a un polynôme qu'au dénominateur ?

Noemi
Bonjour,

juste
Effectue un changement de variable X = x + 2 et Y = y et montre que
la nouvelle fonction g estpaire
a) Etudie la limite de f(x) - y quand x tend vers +∞
b) Etudie le signe de f(x) - y.

Carl69
Je ne comprends pas l'utilité du Y . :S
Et, sinon, pour l'étude des limites, on voit que il s'agit d'une forme indeterminée en -inf/+inf. Comment fait-ton après lorsque l'on a un polynôme qu'au dénominateur ?

et l'utilité des formules de changement de repère tu comprends ?

Ok j'ai compris. Merci

Carl69
Ok j'ai compris. Merci

ceci dit ce n'est pas la seule méthode...
moi perso, je trouve cela un peu long et c'est rarement bien écrit dans les copies

soit f une fonction définie sur Df de courbe représentative Cf dans un répère (quelconque ? orthogonal ? orthonormé ?)

Dire que A(a,b) est centre de symétrie de Cf
équivaut à dire que pour tout x de Df, on a ... et 2b-f(2a-x)=...

ne te dis rien ?

Bertoche
Carl69
Ok j'ai compris. Merci

ceci dit ce n'est pas la seule méthode...
moi perso, je trouve cela un peu long et c'est rarement bien écrit dans les copies

soit f une fonction définie sur Df de courbe représentative Cf dans un répère (quelconque ? orthogonal ? orthonormé ?)

Dire que A(a,b) est centre de symétrie de Cf
équivaut à dire que pour tout x de Df, on a ... et 2b-f(2a-x)=...

ne te dis rien ?

Oui voilà j'allais justement demandé si ce n'était pas plus "simple" d'utiliser cette méthode là. Enfin bon, j'ai fini cette partie , merci .
Cependant il me reste un soucis de limites (oui j'ai vraiment du mal avec les limites..et pourtant, on en mange pas mal en Term..) .
Cette fonction g(x) = (4x²-16x-4)/(x²-4x+9)²

Je pense qu'il s'agit d'une forme indeterminée encore une fois (fonction auxiliaire) de type +inf/+inf, mais après je trouve que sa limite en +inf est egale à -inf et cemme en -inf equivaut à +inf.
C'est faux.

quand l'énoncé n'impose aucune méthode c'est au libre arbitre de chacun.

aussi pourquoi tu as demandé comment faire quand tu avais des idées pour le faire ?!? on est pas là pour de donner les réponses, en plus si tu veux profiter des DM pour progresser, fais en le max par toi-même, en juin au BAC ou après tu seras tout seul face à toi même...

enfin pour ta culture mathématique dans le cas d'un centre de symétrie le repère peut être qq mais dans le cas d'un axe il doit être orthonormé ! tu réfléchiras pourquoi ?

Carl69
Cependant il me reste un soucis de limites (oui j'ai vraiment du mal avec les limites..et pourtant, on en mange pas mal en Term..) .
Cette fonction g(x) = (4x²-16x-4)/(x²-4x+9)²

Je pense qu'il s'agit d'une forme indeterminée encore une fois (fonction auxiliaire) de type +inf/+inf, mais après je trouve que sa limite en +inf est egale à -inf et cemme en -inf equivaut à +inf.
C'est faux.

Bonjour Carl69,

La limite au voisinage de l'infini d'une fonction rationnelle est égale à celle du rapport des monômes de plus haut degré.

Dans ton cas :

lim g(x) = lim [(4x²-16x-4)/(x²-4x+9)²] = lim [(4x² $x^4$ ] = lim [4/x²] = $0^+$
-∞

idem au voisinage de +∞

Attention, cette règle n'est vraie qu'au voisinage de l'infini (à ne pas utiliser quand x tend vers 0 ou autres valeurs).

Pour vérifier tes limites, le mieux est de tracer la fonction à la calculette (ici tu la traces par ex pour x compris entre -20 et 20, et axe y entre -1 et 0,2. tu verras la courbe replonger vers l'axe des abscisses, tout en restant au dessus de cet axe, les limites étant positives.