Trouver l'encadrement d'une intégrale

(re)bonjour, j'ai commencé cet exo mais je suis bloqué déjà au début. j'aurais besoin d'un peu d'aide, merci

Le but de cet exercice est de trouver un encadrement de l'intégrale I = $\int_{0}^{1/2} 1/(1+x^\2) ,\text{d}{x}$ .
f est la fonction définie sur [0;1/2] par f(x)= 1/(1+x²) et C sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

1)a) développer (1+x²)(1-x²+x4)
b) En déduire que pour tout réel x, 1-x² $x^4$ ≥ 1/(1+x²)

2)On note A et B les points de la courbe C d'abscisses respectives 0 et 1/2 .
a)Montrer que pour tout x de [0;1/2] , 1/(1+x²) ≥ 1-(2/5)x

b)En déduire la position de la courbe C et du segment [AB].

on pose J =$\int_{0}^{1/2} (1-x^\2+x^\4) ,\text{d}{x}$ et K = $∫01/2(1−(2/5)x),dx\int_{0}^{1/2} (1-(2/5)x) ,\text{d}{x}$ .
a)Démontrer que K ≤ I ≤ J.
b)Déterminer la valeur exacte de K.
c)on donne $\int_{0}^{1/2} (-x^\2+x^\4) ,\text{d}{x}$ = -17/480
En déduire la valeur exacte de J.

d) Donner un encadrement de I.

1)a) je trouve $1+x^6$

b) je m'en sort jamais pour les encadrements

Re Bonjour

1)a) développer (1+x²)(1-x²+x4) ta réponse 1 + $x^6$ est juste

b) En déduire que pour tout réel x, 1-x² $x^4$ ≥ 1/(1+x²)
A partir de a)
A quoi est égal 1 - x² + $x^4$ = ....?

Noemi
Re Bonjour

1)a) développer (1+x²)(1-x²+x4) ta réponse 1 + $x^6$ est juste

b) En déduire que pour tout réel x, 1-x² $x^4$ ≥ 1/(1+x²)
A partir de a)
A quoi est égal 1 - x² + $x^4$ = ....?

1 - x² + $x^4$ = (1 + $x^6$ )/(1+x²)

Oui,
1 - x² + $x^4$ = (1 + $x^6$ )/(1+x²)
= Décompose en une somme de terme puis déduis en l'inéquation vu que x ≥0.

1 - x² + x4 = (1 + x6)/(1+x²)
=1/(1+x²) + $x^6$ /(1+x²)

donc 1 - x² + x4 ≥ 1/(1+x²)

Vrai car x ≥0

2)a) 1/(1+x²) >0 et 1 > 2/5x mais je n'arrive pas à démontrer l'inégalité

Etudie le signe de :
1/(1+x²) - 1 + (2/5)x sur l'intervalle [0;1/2]

ça fait (x² $2x+2x^3$ /(5+5x²) si on remplace par 1/2 on a un résultat positif, donc on peut dire que 1/(1+x²) ≥ 1-(2/5)x, mais comment on fait sinon pour déterminer le signe sans remplacer par une valeur ?

Tu réduis l'expression : 1/(1+x²) - 1 + (2/5)x
au même dénominateur (vérifie ton calcul)
puis tu factorises le numérateur et tu cherches le signe de l'ensemble avec un tableau de signes.

Noemi
Tu réduis l'expression : 1/(1+x²) - 1 + (2/5)x
au même dénominateur (vérifie ton calcul)
puis tu factorises le numérateur et tu cherches le signe de l'ensemble avec un tableau de signes.

c'est plutot $2x^3$ -5x²+2x/ 5+5x²

Oui,

factorise le numérateur.

Noemi
Oui,

factorise le numérateur.

pour delta, je trouve 9. x1 =1/2 et x2=8/3.

j'ai fait un tableau de signe, et sur [0;1/2] on a un signe + donc on en déduit que 1/(1+x²) ≥ 1-(2/5)x ?

2)b) la courbe est au dessus du segment [AB] sur [0;1/2] ?

$x_2$ =8/4 = 2

La conclusion pour l'inéquation est juste.
Pour la question b, il faut montrer que y = 1- 2x/5 est l'équation de la droite qui passe par les points A et B.

Noemi
x_2$=8/4 = 2

La conclusion pour l'inéquation est juste.
Pour la question b, il faut montrer que y = 1- 2x/5 est l'équation de la droite qui passe par les points A et B.

Xa = 0 => f(0)=1
Xb=1/2 => f(1/2)=4/5

après j'ai fait les calculs pour trouver l'équation de la droite. on trouve bien y=(-2/5)x+1

donc, les points A et B appartiennent à la droite d'équation y=(-2/5)x+1 donc la courbe C est au dessus du segment [AB]

Bien, c'est juste.

comment on fait pour comparer les intégrales?

Pour la comparaison des intégrales, c'est une propriété :
Pour f et g, deux fonctions continues sur [a;b] avec a ≤ b
Si f ≤ g sur [a;b], alors : $∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx\int_{a}^{b}{f(x)dx}\leq \int_{a}^{b}{g(x)dx}$

on a vu avant que sur [0;1/2] 1-x² $x^4$ ≥ 1/(1+x²) et que 1/(1+x²) ≥ 1-(2/5)x donc K ≤ I ≤ J ?

Bonjour sil2b

C'est juste.

ok.

3)b) K = J-I ?

non je n'ai rien dit, il faut que je calcul

Non,

Pour la question 3 b), calcule l'intégrale , soit K

oui logique.

mais je voulais savoir, quand est ce qu'on doit faire une intégration par partie ?

Tu fais une intégration par parties quand tu as un produit de fonction et que tu ne trouves pas de primitive.
exemple pour f(x) = x sinx

Noemi
Tu fais une intégration par parties quand tu as un produit de fonction et que tu ne trouves pas de primitive.
exemple pour f(x) = x sinx

ok. pour K je trouve 9/20 u.a

K est juste.

d'accord.

3)c) J = -17/480 + $[x]$ ^{1/2} $_0$ ?

C'est juste.

Noemi
C'est juste.

je trouve 223/480 u.a

Bonne réponse.

Noemi
Bonne réponse.

ok.

d) je ne comprend pas trop cette question

tu sais que K ≤ I ≤ J.
et tu as calculé K et J,
tu peux donc donner un encadrement de I.

Noemi
tu sais que K ≤ I ≤ J.
et tu as calculé K et J,
tu peux donc donner un encadrement de I.

9/20 ≤ I ≤ 223/480

C'est juste.

ok. merci Noemi