probabilités



  • (Re)bonjour, j'ai un exo sur les proba à faire, j'aurais besoin d'aide. merci

    Une urne contient 9 boules ( 4 rouges, 2 bleues et 3 vertes) identiques au toucher. Toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées.

    1. On tire simultanément 2 boules de l'urne et on note la couleur. Calculer la probabilité d'obtenir 2 boules de la même couleur.

    2. On tire 1 boule de l'urne, on note sa couleur et on la remet dans l'urne; puis on tire une seconde boule de l'urne et on note sa couleur. Calculer la probabilités d'obtenir 2 boules de la même couleur.

    3. On adopte la règle suivante: soit n un entier naturel non nul; on gagne 10 x n € si les 2 boules tirées sont de la même couleur et on perd n2n^2 € dans le cas contraire.
      On désigne par X (respectivement Y) la variable aléatoire qui, à tout tirage de 2 boules selon le procédé décrit dans la première question (respectivement dans la deuxième question) associe le gain algébrique réalisé à l'issue du tirage. Les variables aléatoires X et Y prennent donc les valeurs 10n et n2-n^2.

    a) Déterminer la loi de probabilité de X et celle de Y.

    b) Déterminer en fonction de n les espérances mathématiques E(X) et E(Y) des variables aléatoires X et Y.

    c) Montrer que, pour toute valeur de n, l'espérance de gain est plus grande dans le deuxième jeu.

    je ne sais pas comment débuter la question 1


  • Modérateurs

    Re Bonjour,

    Combien y a t'il de possibilité de tirer
    2 boules ?
    2 boules bleues ?
    2 boules rouges ?


  • Modérateurs

    On tire simultanément 2 boules, donc le nombre de possibilités correspond à un nombre de combinaisons possibles que j'écris C(2;9)
    nombre de choix de 2 objets parmi 9
    Que l'on calcule par
    9! /(9-2)! 2!
    = 9x8/2 = 36
    Ceci correspond au nombre de combinaisons possibles
    Il te reste à cherche le nombre de possibilité d'avoir :
    2 boules rouges ;
    .....



  • ok. pour les boules rouges, je trouve une combinaison de 126 mais est ce que je dois multiplier par 36 ?


  • Modérateurs

    Le nombre de possibilité de tirer 2 boules rouge est C(2;4)
    soit 4! /(2!x2!) = 4 x 3/ 2 = 6

    Attention, je ne calcule pas pour l'instant la probabilité mais juste le nombre de choix possibles.



  • ok, donc:

    boules rouges : 6
    boules bleues : 1
    boules vertes : 3


  • Modérateurs

    Oui,

    maintenant tu peux répondre à la question 1) en appliquant :
    Probabilité d'un événement A = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles.



  • Noemi
    Oui,

    maintenant tu peux répondre à la question 1) en appliquant :
    Probabilité d'un événement A = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles.

    nombre de cas favorable : 613=18 ? mais nombre de cas possible je ne vois pas


  • Modérateurs

    J'ai indiqué le calcul dans mon second post. : C(2;9).



    1. p=5/18 ?

  • Modérateurs

    Oui
    C'est juste.
    (6+3+1)/36 = 5/18

    La question 2 est un tirage avec remise.



  • ok, pour la 2), le nombre de cas possible change ?


  • Modérateurs

    Oui, le nombre de cas possibles change.
    Nombre de possibilité pour la première boule : 9
    pour la deuxième 9
    donc 9x9 possibilités



  • Noemi
    Oui, le nombre de cas possibles change.
    Nombre de possibilité pour la première boule : 9
    pour la deuxième 9
    donc 9x9 possibilités

    ok et en utilisant la combinaison on l'obtient comment ce résultat ?


  • Modérateurs

    Avec les combinaisons, c'est C(1;9) x C(1;9)



  • Noemi
    Avec les combinaisons, c'est C(1;9) x C(1;9)

    probabilité d'obtenir 2 boules rouges : 43=12
    probabilité d'obtenir 2 boules bleues : 2
    1 =2
    probabilité d'obtenir 2 boules vertes : 3*2=6 ?


  • Modérateurs

    Non

    Pour obtenir une boule rouge, tu as quatre cas favorables sur 9 possibles
    Donc 4/9
    Si on tire deux boules avec remise la probabilité d'obtenir deux boules rouges est
    4/9 x 4/9 = 16/81



  • Noemi
    Non

    Pour obtenir une boule rouge, tu as quatre cas favorables sur 9 possibles
    Donc 4/9
    Si on tire deux boules avec remise la probabilité d'obtenir deux boules rouges est
    4/9 x 4/9 = 16/81

    ok, mais alors dans la question 1) on devrait faire, dans le même principe : pour les boules rouges, 4/9*3/8. je ne comprend pas trop


  • Modérateurs

    La question 1, on tire simultanément deux boules donc il faut enlever l'ordre.



  • Noemi
    La question 1, on tire simultanément deux boules donc il faut enlever l'ordre.

    pour la 2) p=29/81 ?

    mais après avoir fait la question 2, je ne comprend plus le principe de la question 1. Dans la question 2 il y a remise des boules, ok, donc pour les boules rouges: p(2 boules rouges)=4*4=16 c'est à dire 4 cas favorables pour la 1ère boule et comme il y a remise, on a toujours 4 cas favorable pour la 2ème boule.

    dans la question 1, si on suit le même principe (sans remise) on : p(2 boules rouges)=4*3=12 c'est à dire 4 cas favorables pour la 1ère boule, 3 cas favorables pour la 2ème boule car une boule rouge a été déjà tirée ?


  • Modérateurs

    1. juste.

    Exact pour le 1) tu peux aussi calculer par

    4/9x3/8 + 2/9x1/8 + 3/9x2/8 = 20/72 = 5/18



  • ok.

    3)a) je n'arrive pas du tout


  • Modérateurs

    Question 3 a)
    On cherche : P(X = 10n ) et P(X = -n²)

    P(X= 10n) correspond à la probabilité que les deux boules tirés soient de la même couleur.
    P(X = -n²) correspond à la probabilité que les deux boules sont de couleurs différentes soit ici 1 - P(X = 10n).

    Même question avec Y.



  • pour P(X = 10n ) , les valeurs prise par 10n sont : 1,3 et 6 ?


  • Modérateurs

    10n correspond au gain, n est quelconque.
    Utilise :
    P(X= 10n) correspond à la probabilité que les deux boules tirés soient de la même couleur. (Question traitée précédemment)
    P(X = -n²) correspond à la probabilité que les deux boules sont de couleurs différentes soit ici 1 - P(X = 10n).



  • d'accord mais je ne vois pas trop ce qu'il faut trouver dans cette question


  • Modérateurs

    Tu utilises le résultat des questions précédentes.

    Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules de même couleur ?
    Question 1) : ....
    Question 2) : ....



  • X : 5/18 ; 13/18
    Y : 29/8 ; 52/81


  • Modérateurs

    Donc tu écris :
    P(X = 10n)= 5/18
    P(X = -n²)= 13/18
    et
    P(Y = 10n) = ...
    ...

    Pour l'espérance, utilise la relation : E(X) = Somme pi xi



  • E(X)= n(50-13n)/18 et E(Y)= n(290-52n)/81


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