Trouver la loi de probabilité et l'espérance d'une variable

(Re)bonjour, j'ai un exo sur les proba à faire, j'aurais besoin d'aide. merci

Une urne contient 9 boules ( 4 rouges, 2 bleues et 3 vertes) identiques au toucher. Toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées.

On tire simultanément 2 boules de l'urne et on note la couleur. Calculer la probabilité d'obtenir 2 boules de la même couleur.
On tire 1 boule de l'urne, on note sa couleur et on la remet dans l'urne; puis on tire une seconde boule de l'urne et on note sa couleur. Calculer la probabilités d'obtenir 2 boules de la même couleur.
On adopte la règle suivante: soit n un entier naturel non nul; on gagne 10 x n € si les 2 boules tirées sont de la même couleur et on perd $n^2$ € dans le cas contraire.
On désigne par X (respectivement Y) la variable aléatoire qui, à tout tirage de 2 boules selon le procédé décrit dans la première question (respectivement dans la deuxième question) associe le gain algébrique réalisé à l'issue du tirage. Les variables aléatoires X et Y prennent donc les valeurs 10n et $n^2$ .

a) Déterminer la loi de probabilité de X et celle de Y.

b) Déterminer en fonction de n les espérances mathématiques E(X) et E(Y) des variables aléatoires X et Y.

c) Montrer que, pour toute valeur de n, l'espérance de gain est plus grande dans le deuxième jeu.

je ne sais pas comment débuter la question 1

Re Bonjour,

Combien y a t'il de possibilité de tirer
2 boules ?
2 boules bleues ?
2 boules rouges ?

On tire simultanément 2 boules, donc le nombre de possibilités correspond à un nombre de combinaisons possibles que j'écris C(2;9)
nombre de choix de 2 objets parmi 9
Que l'on calcule par
9! /(9-2)! 2!
= 9x8/2 = 36
Ceci correspond au nombre de combinaisons possibles
Il te reste à cherche le nombre de possibilité d'avoir :
2 boules rouges ;
.....

ok. pour les boules rouges, je trouve une combinaison de 126 mais est ce que je dois multiplier par 36 ?

Le nombre de possibilité de tirer 2 boules rouge est C(2;4)
soit 4! /(2!x2!) = 4 x 3/ 2 = 6

Attention, je ne calcule pas pour l'instant la probabilité mais juste le nombre de choix possibles.

ok, donc:

boules rouges : 6
boules bleues : 1
boules vertes : 3

Oui,

maintenant tu peux répondre à la question 1) en appliquant :
Probabilité d'un événement A = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles.

Noemi
Oui,

maintenant tu peux répondre à la question 1) en appliquant :
Probabilité d'un événement A = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles.

nombre de cas favorable : 613=18 ? mais nombre de cas possible je ne vois pas

J'ai indiqué le calcul dans mon second post. : C(2;9).

p=5/18 ?

Oui
C'est juste.
(6+3+1)/36 = 5/18

La question 2 est un tirage avec remise.

ok, pour la 2), le nombre de cas possible change ?

Oui, le nombre de cas possibles change.
Nombre de possibilité pour la première boule : 9
pour la deuxième 9
donc 9x9 possibilités

Noemi
Oui, le nombre de cas possibles change.
Nombre de possibilité pour la première boule : 9
pour la deuxième 9
donc 9x9 possibilités

ok et en utilisant la combinaison on l'obtient comment ce résultat ?

Avec les combinaisons, c'est C(1;9) x C(1;9)

Noemi
Avec les combinaisons, c'est C(1;9) x C(1;9)

probabilité d'obtenir 2 boules rouges : 43=12
probabilité d'obtenir 2 boules bleues : 21 =2
probabilité d'obtenir 2 boules vertes : 3*2=6 ?

Non

Pour obtenir une boule rouge, tu as quatre cas favorables sur 9 possibles
Donc 4/9
Si on tire deux boules avec remise la probabilité d'obtenir deux boules rouges est
4/9 x 4/9 = 16/81

Noemi
Non

Pour obtenir une boule rouge, tu as quatre cas favorables sur 9 possibles
Donc 4/9
Si on tire deux boules avec remise la probabilité d'obtenir deux boules rouges est
4/9 x 4/9 = 16/81

ok, mais alors dans la question 1) on devrait faire, dans le même principe : pour les boules rouges, 4/9*3/8. je ne comprend pas trop

La question 1, on tire simultanément deux boules donc il faut enlever l'ordre.

Noemi
La question 1, on tire simultanément deux boules donc il faut enlever l'ordre.

pour la 2) p=29/81 ?

mais après avoir fait la question 2, je ne comprend plus le principe de la question 1. Dans la question 2 il y a remise des boules, ok, donc pour les boules rouges: p(2 boules rouges)=4*4=16 c'est à dire 4 cas favorables pour la 1ère boule et comme il y a remise, on a toujours 4 cas favorable pour la 2ème boule.

dans la question 1, si on suit le même principe (sans remise) on : p(2 boules rouges)=4*3=12 c'est à dire 4 cas favorables pour la 1ère boule, 3 cas favorables pour la 2ème boule car une boule rouge a été déjà tirée ?

juste.

Exact pour le 1) tu peux aussi calculer par

4/9x3/8 + 2/9x1/8 + 3/9x2/8 = 20/72 = 5/18

ok.

3)a) je n'arrive pas du tout

Question 3 a)
On cherche : P(X = 10n ) et P(X = -n²)

P(X= 10n) correspond à la probabilité que les deux boules tirés soient de la même couleur.
P(X = -n²) correspond à la probabilité que les deux boules sont de couleurs différentes soit ici 1 - P(X = 10n).

Même question avec Y.

pour P(X = 10n ) , les valeurs prise par 10n sont : 1,3 et 6 ?

10n correspond au gain, n est quelconque.
Utilise :
P(X= 10n) correspond à la probabilité que les deux boules tirés soient de la même couleur. (Question traitée précédemment)
P(X = -n²) correspond à la probabilité que les deux boules sont de couleurs différentes soit ici 1 - P(X = 10n).

d'accord mais je ne vois pas trop ce qu'il faut trouver dans cette question

Tu utilises le résultat des questions précédentes.

Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules de même couleur ?
Question 1) : ....
Question 2) : ....

X : 5/18 ; 13/18
Y : 29/8 ; 52/81

Donc tu écris :
P(X = 10n)= 5/18
P(X = -n²)= 13/18
et
P(Y = 10n) = ...
...

Pour l'espérance, utilise la relation : E(X) = Somme pi xi

E(X)= n(50-13n)/18 et E(Y)= n(290-52n)/81

Oui,

c) Montre que E(Y) > E(X)

j'ai calculé E(x)-E(Y) et j'ai trouvé -13n(10+n)/162 ≤ 0 => E(Y) > E(X) donc l'espérance de gain dans le 2ème jeu est plus grande que celle dans le 1er jeu

C'est juste.

ok, merci Noemi. je post un autre exo que j'essaye de faire.

Tu as tout compris sur les probabilités ?

Noemi
Tu as tout compris sur les probabilités ?

j'ai compris ce que je viens de faire mais à chaque exercice que je commence je ne sais jamais quel type de proba utiliser et j'ai toujours des difficultés à comprendre l'énoncé