Calculs de la probabilité, espérance et moyenne d'une variable aléatoire

(Re)bonjour, j'aurais besoin daide pour cet exo, merci.

Si une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre (λ>0), elle a pour densité de probabilité la fonction f telle que f(x)= λe^(-λ.x) sur [0;+∞[.

On appelle espérance mathématique de X le réel :

E(X)= $lim⁡<em>a→+∞∫</em>0atf(t)=,dt\lim <em>{a \rightarrow {+} \infty} \int</em>{0}^{a} t{f(t)}= ,\text{d}{t}$ .
Démonter que E(X)= 1/λ.

E(X)est appelé durée de vie moyenne.

2)Une mouche entre dans une salle et on tente de la tuer. On note T la variable aléatoire égale à la durée de vie de la mouche,
la loi T est une loi de durée de vie sans vieillissement.
La probabilité pour que la mouche soit tuée au cours des 20 premières minutes est 0,8.
Calculer la durée de vie moyenne de la mouche en minutes et secondes.

3)Quinze mouches entrent dans la salle.

a)Quelle est la probabilité pour que 10 d'entre elles soient tuées dans le premier quart d'heure ?
b)Quelle est la probabilité pour que plus d'une mouche soit tuée en moins de 5 minutes ?

On donnera les réponses à ces deux dernières questions à $10^{-2}$ près.

on fait une intégration par partie :

u'(t)=λe^(-λt) => u(t)=-e^(-λt)
v(t)=t => v'(t)=1 ?

Bonjour,

Tu peux poursuivre ton calcul de E(x).

Bonjour,

après quelques étapes de calcul, j'ai:

E(X)=$\lim _{a \rightarrow {+} $\infty} $e^{-λa}$ *a - 1/λ + 1/λ $e^{-λa}$ dt

je ne sais pas trop comment faire après, mais est ce que c'est juste pour l'instant ?

Des problèmes de signe.
Vérifie ton calcul.

E(X)=$\lim _{a \rightarrow {+} $\infty}[ $e^{-λa}$ *a - 1/λ $e^{-λa}$ + 1/λ] dt

Oui,

Calcule la limite.

c'est ok.

comment faut il faire

$e^{-λa}$ = $1/e^{λa}$

et si a tend vers +∞, .......

De même $a*e^{-λa}$ = $1/(e^{λa}$ /a)
et si a tend vers +∞ ; $e^{λa}$ /a) tend vers ....
donc ....

c'est pour quelle question ce que tu as écrit ?

C'est pour la question 1) que je t'indiqué des éléments de réponse.
Pour la question 2), tu dois calculer λ, puis E(x) sachant que P([0;20] = 0,8.
Donc résous : $∫020λe−λtdt=0,8\int_{0}^{20}\lambda e^{-\lambda t}{dt}=0,8$

je reviens à la question 1) car j'ai des problèmes avec les limites:

moi, j'ai : E(X)= lim(a=>+∞) [-(a+1/λ $e^{-λa}$ + 1/λ] dt

-(a+1/λ) =>-∞
$e^{-λa}$ =>0

donc 0*(-∞) = F.I

donc comment je fais pour enlever l'indétermination dans ce cas ?

Pour les limites :
$e^{-λa}$ = $1/e^{λa}$

et si a tend vers +∞, $e^{λa}$ tend vers + ∞,
Donc $1/e^{λa}$ tend vers 0+

De même a*e-λa = $1/(e^{λa}$ /a)
et si a tend vers +∞ ; $e^{λa}$ /a) tend vers + ∞
donc $1/(e^{λa}$ /a) tend vers 0+

je dois résoudre l'intégrale que tu m'a dit et je dois trouver 0,8 ?

Tu résous l'intégrale et tu détermines λ.

2)mais 0,8 il intervient dans le calcul de l'intégrale. je ne comprend pas trop.

Non,

Calcule d'abord l'intégrale.

je trouve $e^{-λ20}$ +1

Oui,

Tu résous :
$e^{-20λ}$ +1= 0,8

je ne sais plus comment on peu modifier l'écriture de la fonction exponentielle

$e^{-20λ}$ +1= 0,8
$e-^{20λ}$ = 0,2
Puis tu utilises ln
$lne-^{20λ}$ =ln 0,2
soit
....

3)a) comment je dois faire

Bonsoir,
3) a) calcule la probabilité qu'une mouche soit tuée dans le premier quart d'heure.
b) puis dans les 5 premières minutes

Bonsoir,

cette probabilité, je dois la calculer avec une intégrale ?

Oui, tu calcules l'intégrale en utilisant la valeur de λ trouvée en 2).

je dois calculer l'intégrale de (0à10) de (-20/ln0, $2)e^{(20/ln0,2)t}$ ?

C'est l'intégrale de 0 à 15 puis de 0 à 5

et λ = -ln0,2 / 20

pour l'intégrale de 0 à 15, j'ai $[-e^{(ln0,$2/20)t} $]$ ^{15} $_0$ ?

Oui,

Termine le calcul.

j'ai $e^{(15ln0,2)/20}$ + 1 et je ne sais pas quoi faire après

Utilise ta calculatrice pour trouver le résultat, soit 0,7.
Qui est la probabilité pour qu'une mouche soit tuée dans le premier quart d'heure.
Ensuite, sachant qu'il y a 15 mouches, calcule la probabilité que 10 d'entre elles soient tuées dans le premier quart d'heure.

c'est une loi binomiale ou on peut calculer autrement ?

Oui, loi binomiale.

c'est: $C$ ^{10} $_{15}$ 0, $7^{10}$ (1-0, $7)^5$ ?

Oui

le résultat c'est 0,206130381, je prend 0,2 ou 0,21 pour la proba ?

à $10^{-2}$ près, soit 0,21.

ah oui, j'avais oublié que c'était à $10^{-2}$ près.

je continuerai demain pour la 3)b). merci Noemi, bonne nuit.

Bonne nuit.

bonjour,

3)b)

F(5)=0,33

p(+ d'une mouche tuée)=0,98 ?

Pour la probabilité, je trouve 0,97 ( 0,97279...)