primitive d'une fonction rationnelle?!


  • K

    Bonsoir je dois trouver les primitives de:

    k(x)= (4x²+2x+3)/ (2x+1)

    mais je ne vois absolument pas comment faire...il semble sue je dois changer cette fraction avant de pouvoir appliquer une formule mais je n'y arrive pas...merci d'avance.


  • Thierry
    Modérateurs

    Salut,

    Ca me parait un peu difficile en Terminale S ...

    Je te propose de commencer par déterminer 3 réels a, b, c tels que
    k(x)=ax+b+c2x+1k(x) = ax + b + \frac c {2x+1}k(x)=ax+b+2x+1c

    curieux que cela ne soit pas indiqué par ton énoncé ...


  • K

    L'énoncé ne stîpule rien si ce n'est "déterminer les primitives de...", c'est une fiche faite à la main par notre professeur 🙂

    je vous propose ma réponse dans la journée merci de votre aide.


  • M

    Bonjour,
    Tu remarques que le numérateur peut s'écrire :
    4x² + 2x + 3 = 2x(2x + 1) + 3
    Ce qui te permet d'obtenir aisément la forme proposée par Thierry.


  • K

    Merci de votre aide à tous 2, je vous rédige ma solution:

    k(x)=4x2+2x+32x+1k(x)=\frac{4x^{2}+2x+3}{2x+1}k(x)=2x+14x2+2x+3

    k(x)=2x(2x+1)+32x+1k(x)=\frac{2x(2x+1)+3}{2x+1}k(x)=2x+12x(2x+1)+3

    k(x)=2x+32x+1=f(x)+g(x)k(x)=2x+\frac{3}{2x+1}= f(x)+ g(x)k(x)=2x+2x+13=f(x)+g(x)

    ainsi: K(x)= F(x) + G(x)

    or F= 1/2*2x²=x²

    G=3/2*ln(2x+1) en utilisant la primitive de U'/U = ln(|U|)

    ainsi K(x)= x² + 3/2 * ln(2x+1)

    Note: avant de tout commencer j'ai précisé que k(x) est une fonction continue sur ]-∞;-1/2[ et sur ]-1/2;+∞[


  • Thierry
    Modérateurs

    Oui.

    Attention toutefois que 2x+1 est négatif sur ]-∞;-1/2[ et donc ln(2x+1) n'est pas défini sur cet intervalle.


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