primitive d'une fonction rationnelle?!

[KaioshinDBZ]

Bonsoir je dois trouver les primitives de:

k(x)= (4x²+2x+3)/ (2x+1)

mais je ne vois absolument pas comment faire...il semble sue je dois changer cette fraction avant de pouvoir appliquer une formule mais je n'y arrive pas...merci d'avance.

[Thierry]

Salut,

Ca me parait un peu difficile en Terminale S ...

Je te propose de commencer par déterminer 3 réels a, b, c tels que
$k(x)=ax+b+\frac{c}{2x+1}$

curieux que cela ne soit pas indiqué par ton énoncé ...

[KaioshinDBZ]

L'énoncé ne stîpule rien si ce n'est "déterminer les primitives de...", c'est une fiche faite à la main par notre professeur

je vous propose ma réponse dans la journée merci de votre aide.

[mathtous]

Bonjour,
Tu remarques que le numérateur peut s'écrire :
4x² + 2x + 3 = 2x(2x + 1) + 3
Ce qui te permet d'obtenir aisément la forme proposée par Thierry.

[KaioshinDBZ]

Merci de votre aide à tous 2, je vous rédige ma solution:

$k(x)=\frac{4x^2+2x+3}{2x+1}$

$k(x)=\frac{2x(2x+1)+3}{2x+1}$

$k(x)=2x+\frac{3}{2x+1}=f(x)+g(x)$

ainsi: K(x)= F(x) + G(x)

or F= 1/2*2x²=x²

G=3/2*ln(2x+1) en utilisant la primitive de U'/U = ln(|U|)

ainsi K(x)= x² + 3/2 * ln(2x+1)

Note: avant de tout commencer j'ai précisé que k(x) est une fonction continue sur ]-∞;-1/2[ et sur ]-1/2;+∞[

[Thierry]

Oui.

Attention toutefois que 2x+1 est négatif sur ]-∞;-1/2[ et donc ln(2x+1) n'est pas défini sur cet intervalle.