Etude complète d'une fonction polynomiale / rationnelle

bonjour, mon professeur nous a donné un petit dns de fin d'année pour vérifier nos connaissances sur les fonctions.J'aurai besoin d'un peu d'aide et que l'on vérifie mes autres résultats.
Voici l'énoncé:
1ère Partie:
la fonction g est définie sur R( toutes les réels) par g(x)=2x³-3x²-1

étudier les variations de la fonction g.Montrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution.On pourra noter a cette solution.Donner une valeur approchée de a à 10 exposant -2 près.
2)en déduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x.

pour cette 1ère partie je n'ai presque pas réussi.

pour les variations j'ai calculé la dérivée g'(x)=6x²-6x-1
puis le signe de g'(x) et j'ai donc trouvé g(x): croissante de - l'infini à ≈-0.15 (racine),décroissante sur ≈-0.15 à ≈1.15 (2ième racine) et croissante de ≈1.15 à + l'infini.
Je n'ai pas réussi à montrer que g(x)=o admet une seule solution et je n'ai pas pu trouver a du coup.
2)Il faut en déduire donc je pense que je peux pas le faire si je n'ai pas a.

2ième partie

la fonction f est définie sur R/(-1) par f(x)=(1-x)/(x³+1). on appelle (C) la représentation graphique de cette fonction f.

1)Etudier les limites de f(x) à chaque borne du domaine de définition de f. Y a t-il des droites asymptotes à la courbe (C)? justifier.
2)monter que f'(x) peut sécrire f'(x)=(g(x))/((x³+1)²) pout otut x R/(-1). En déduire le signe de f'(x) puis les variations de f.
3)a)Ecrire une équation de T tangente à C au point I d'abscisse 0.
b)Etudier la position de (C) par rapport à T.

j'ai trouvé que quand x tend vers - l'infini, f(x) tend vers 0,
quand x tend vers + l'infini, f(x) tend vers 0.
quand x tend vers (-1)-,f(x) tend vers - l'infini.
quand x tend vers (-1)+,f(x) tend vers - l'infini.

pour les droites asymptotes j'ai trouvé qu'il y en avait 2:
la droite d'équation y=0 est asyptote à la courbe en - l'infini et en = l'infini.
la droite d'équation x=-1 est asymptote à la courbe en (-1)- et en (-1)+.
Je ne sais pas justifier par contre et je ne sais pas si il m'en manque.

J'ai calculé f'(x) avec la formule de la dérivée et je retrouve bien l'écriture de l'énoncé.
Je ne sais pas en déduire le signe de f'(x) car il a des x³ et je ne sais pas comment du coup trouver le signe.Je pourrais après trouver les variations de f.

3)a) J'ai trouvé pour l'équation de T: y=-x+1
b) je sais qu'il faut faire équation de T - équation de f(x) mais je n'arrive pas à faire le calcul.

Merci d'avance pour votre aide

Bonjour,

Partie 1, la dérivée est fausse.

Partie 2, la limite quand x tend vers (-1)+ est fausse
Question 3 b), simplifie l'écriture T - f(x)

partie 1
calcul de la dérivée: g(x)=2x³-3x²-1
donc g'(x)=6x²-6x, j'ai enlevé le -1. Je pense que c'est ça qui ne va pas.
La fonction ne change pas de variation; et je ne sais donc toujour pas comment trouver a car la fonction n'est pas strictement croissante ou décroissante.

partie 2
la limite je ne sais pas comment trouver car sur mon dessin f(x) tend vers + l'infini.
3)b) j'ai tout mit sur le memedénominateur mais je trouve de x exposant 4 donc je pense que ce n'est pas bon.Les deux nominateurs sont les même mais je ne sais pas comment faire avec le dénominateur restant.

1ère partie, vérifie le tableau de variation.

2ieme partie, si x tend vers (-1)+ ; x³+1 tend vers 0+
T - f(x) = (-x+1)(x³)/(x³+1)

1ère partie
Sur mon dessin à la calculette je trouve g(x) croissante,puis décroissante puis de nouveau croissante et a≈1.67 mais je ne sais pas le prouver.
2ième partie
c'est ce que j'ai mit puis j'ai marqué que 1-x tend vers 2 comme 2 est positif et o+ aussi (-1)+ tend vers + l'infini.

pour T- f(x) je n'ai pas compri comment vous avez fait.

Pour la première partie, précise sur quel domaine la fonction croit, décroit, ....

Pour le 3 b), j'ai réduis au même dénominateur.

g(x) croiisante de - l'infini à 0, décroissante de 0 à 1 et croissante de 1 à + l'infini.

pour le 3 b, j'ai dévelopé ce que vous avez trouvé et je trouve (-x^4×x³)/x³+1 mais comment trouver le signe de cela?

partie 1
si x varie de -∞ à 0, g(x) varie de -∞ à -1, donc ne passe par par 0,
si x varie .....

Pour le 3 b) , ne développe pas, étudie le signe selon les valeurs de x.

partie 1
si x varie de 0 à 1,g(x) varie de -1 à -2
si x varie de 1 à +∞, g(x) varie de -2 à +∞ donc x passe automatiquement par zéro.Merci.

Comment en déduire le signe de g(x)?

Partie 2
je ne vois pas comment faire.

Si g(x) varie de -∞ à -1, g(x) < 0

T - f(x) = (-x+1)(x³)/(x³+1)
si x > 1, T-f(x) < 0 donc T en dessous de f
Si 0 < x < 1, T - f(x) > 0
...

merci beaucoup, j'avais vu cela en classe en plus pour trouver la position de la courbe par rapport à la tangente.
pour la partie 2
2) je ne sais pas comment on déduit le signe le signe de f'(x)

Si x < a, g(x) <0
si x > a, g(x) > 0

merci,cela c'est pour la question 2) de la première partie.
pour la partie 2,question 2, est ce que je dois faire pareil que pour le 2 de la première partie pour "en déduire le signe de f'(x)"?

Pour la question 2, le signe de la dérivée correspond au signe de g(x).
Tu utilises donc le résultat de la partie 1.

j'utilise donc si x<a, g(x)<0, si x>a,g(x)>0 ?
et le signe de (x³+1)² qui est toujours positif.

pour la deuxième partie

est ce que les asymptotes sont bonnes et est ce qu'il y en a d'autre? Je ne sais pas si ce que j'ai écrit correspond à de la justification.

Pour les asymptotes, c'est correct.

Si x < a, g(x) <0, alors f'(x) < 0, soit fonction .....
si x > a, g(x) > 0, .....

f'(x)<0 donc signe négatif donc fonction décroissante.
f'(x)>0 donc signe positif donc fonction croissante.

oui,

N'oublie pas de noter xa.

oui, merci beaucoup