Etude des limites et variations d'une fonction
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Mmashopha dernière édition par Hind
Bonjour, j'ai un devoir maison a faire, il comprend deux exercices dont un que j'ai déja fait. J'ai un problème pour le deuxième exercice pouvez vous m'aider ?
Voici l'énoncé de l'exercice :F est une fonction définie et dérivable sur mathbbRmathbb{R}mathbbR telle que :
F(0)=0 et, pour tout x réel, F'(x)= 1/(1+x²)On admet que cette fonction existe et on ne cherchera pas à donner une expression de F(x).
C désigne la courbe représentative de F dans un repere orthonormal.- G est la fonction définie sur mathbbRmathbb{R}mathbbR par : G(x)= F(x) + F(-x)
a. Justifier que G est dérivable sur mathbbRmathbb{R}mathbbR et calculer G'(x) pour tout x réel.
- J'ai trouvée G'(x)= 2/(1+x²)
b. Calculer G(0) et déduisez-en que F est une fonction impaire.
- J'ai trouver G(0)=0 donc F(-x)= -F(x) donc la fonction F est impaire et admet un centre de symétrie au point O(0;0)
- H est la fonction définie sur I=]0;+∞[ par : H(x) = F(x)+F(1/x)
a. Justifiez que H est dérivable sur I et calculez H'(x) pour tout x réel sur I.
- J'ai trouver H'(x)= 1
b. Démontrer que pour tout x dans I, H(x)=2F(1)
- c'est ici que je bloque, je ne sais vraiment pas ce qu'il faut faire, pouvez vous m'aidez s'il vous plait ?
c. Déduisez-en que la limite de la fonction F en +∞ est 2F(1)
d. Qu'en déduisez vous pour la courbe C ?
- T est la fonction définie sur ] -π/2 ; π/2 [ par : T(x)= F(tan x)-x
a. Calculer T'(x). Qu'en déduisez vous pour la fonction T ?
b. Calculer F(1)
4) Dressez le tableau des variations de F sur RMerci d'avance pour toute l'aide donnée.
- G est la fonction définie sur mathbbRmathbb{R}mathbbR par : G(x)= F(x) + F(-x)
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Bonjour,
Indique tes calculs pour G'(x) et H'(x).
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Mmashopha dernière édition par
G'(x) = F'(x) +F'(-x)
= (1/(1+x²)) + (1/(1+(-x)²))
= (1+1)/(1+x²)
= 2/(1+x²)H'(X) = F'(x)+F'(1/x)
= ( 1/(1+x²))+(1/(1+(1/x)²))
= ( 1/(1+x²)) + (1/( 1+(1/x²)))
= ( 1/(1+x²)) + (1/((x²+1)/x²))
= ( 1/(1+x²)) + (x²/(1+x²))
= (1+x²)/(1+x²)
= 1
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F'(-x) correspond à la dérivée d'une fonction composée.
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Mmashopha dernière édition par
Pourquoi ?
il ne se suffit pas de remplacer le x dans F'(x) par -x ?
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Non,
La dérivée de f(x) n'est pas la même que celle de f(-x)
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Mmashopha dernière édition par
Dans ce cas comment je fait pour trouver F'(-x) sans la fonction F ?
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Dérivée d'une fonction composée F'(-x) = -F'(x)
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Mmashopha dernière édition par
Dans ce cas G'(x)=0
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Mmashopha dernière édition par
je ne comprend toujours pas pourquoi F'(-x) est une fonction composé et comment on trouve F'(-x)=-F(x).
Car la dérivé d'une fonction composé comme par exemple h(g(x)) serait
g'(x) + h'(g(x)).
Ici on peut appliquer cette formule ?
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Ce n'est pas une addition mais une multiplication
g'(x) × h'(g(x)).
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Mmashopha dernière édition par
Ah oui c'est bon je viens de tout comprendre. j'ai compris comment on trouvais F(-x) = -F(x). merci
Maintenant comment je fais pour la question 2 b ?
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Combien as-tu trouvé à H'(x) ?
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Mmashopha dernière édition par
J'ai trouvée :
H'(X) = F'(x)+F'(1/x)
= ( 1/(1+x²))-(1/x²)(1/(1+(1/x)²))
= ( 1/(1+x²)) -(1/x²)(x²/(1+x²))
= ( 1/(1+x²)) - (x²/(x²(1+x²)))
= (x²-x²)/(x²(1+x²))
= 0Est ce exacte ?
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Mmashopha dernière édition par
Que dois je faire pour la question 2b ? je suis totalement perdue
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Mmashopha dernière édition par
s'il vous plait, aidez moi.
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H'(x) = 0,
donc H(x) = .......
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Mmashopha dernière édition par
Donc H est une fonction constante.
Est ce que ça veux dire que H(1)= H(x)= 2F(1) ?
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Oui, H(x) est une constante donc tu peux choisir x = 1.
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Mmashopha dernière édition par
Merci, pour la question suivante.
Il faut en deduire que lim F(x) = lim H(x) quand x tend vers +∞ ?Pour cela je fais la limite de F(x) sachant que F(x)= F(1/x) - H(x) ?
Donc Lim (1/x) = 0 quand x tend vers +∞ donc lim F(1/x) =0 quand x tend vers +∞
Ainsi Lim F(x) = lim -H(x) quand x tend vers +∞
Et comme H(x) constante alors lim F(x) = 2F(1)Est ce exacte ?
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C'est correct :
Rajoute : lim F(1/x) =F(0) = 0
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Mmashopha dernière édition par
Merci beaucoup pour le reste j'ai réussi toute seule. Encore merci.