Etude des limites et variations d'une fonction

Bonjour, j'ai un devoir maison a faire, il comprend deux exercices dont un que j'ai déja fait. J'ai un problème pour le deuxième exercice pouvez vous m'aider ?
Voici l'énoncé de l'exercice :

F est une fonction définie et dérivable sur $mathbb{R}$ telle que :
F(0)=0 et, pour tout x réel, F'(x)= 1/(1+x²)

On admet que cette fonction existe et on ne cherchera pas à donner une expression de F(x).
C désigne la courbe représentative de F dans un repere orthonormal.

G est la fonction définie sur $mathbb{R}$ par : G(x)= F(x) + F(-x)
a. Justifier que G est dérivable sur $mathbb{R}$ et calculer G'(x) pour tout x réel.

J'ai trouvée G'(x)= 2/(1+x²)

b. Calculer G(0) et déduisez-en que F est une fonction impaire.

J'ai trouver G(0)=0 donc F(-x)= -F(x) donc la fonction F est impaire et admet un centre de symétrie au point O(0;0)

H est la fonction définie sur I=]0;+∞[ par : H(x) = F(x)+F(1/x)
a. Justifiez que H est dérivable sur I et calculez H'(x) pour tout x réel sur I.

J'ai trouver H'(x)= 1

b. Démontrer que pour tout x dans I, H(x)=2F(1)

c'est ici que je bloque, je ne sais vraiment pas ce qu'il faut faire, pouvez vous m'aidez s'il vous plait ?

c. Déduisez-en que la limite de la fonction F en +∞ est 2F(1)

d. Qu'en déduisez vous pour la courbe C ?

T est la fonction définie sur ] -π/2 ; π/2 [ par : T(x)= F(tan x)-x
a. Calculer T'(x). Qu'en déduisez vous pour la fonction T ?

b. Calculer F(1)
4) Dressez le tableau des variations de F sur R

Merci d'avance pour toute l'aide donnée.

Bonjour,

Indique tes calculs pour G'(x) et H'(x).

G'(x) = F'(x) +F'(-x)
= (1/(1+x²)) + (1/(1+(-x)²))
= (1+1)/(1+x²)
= 2/(1+x²)

H'(X) = F'(x)+F'(1/x)
= ( 1/(1+x²))+(1/(1+(1/x)²))
= ( 1/(1+x²)) + (1/( 1+(1/x²)))
= ( 1/(1+x²)) + (1/((x²+1)/x²))
= ( 1/(1+x²)) + (x²/(1+x²))
= (1+x²)/(1+x²)
= 1

F'(-x) correspond à la dérivée d'une fonction composée.

Pourquoi ?
il ne se suffit pas de remplacer le x dans F'(x) par -x ?

Non,

La dérivée de f(x) n'est pas la même que celle de f(-x)

Dans ce cas comment je fait pour trouver F'(-x) sans la fonction F ?

Dérivée d'une fonction composée F'(-x) = -F'(x)

Dans ce cas G'(x)=0

je ne comprend toujours pas pourquoi F'(-x) est une fonction composé et comment on trouve F'(-x)=-F(x).
Car la dérivé d'une fonction composé comme par exemple h(g(x)) serait
g'(x) + h'(g(x)).
Ici on peut appliquer cette formule ?

Ce n'est pas une addition mais une multiplication
g'(x) × h'(g(x)).

Ah oui c'est bon je viens de tout comprendre. j'ai compris comment on trouvais F(-x) = -F(x). merci

Maintenant comment je fais pour la question 2 b ?

Combien as-tu trouvé à H'(x) ?

J'ai trouvée :
H'(X) = F'(x)+F'(1/x)
= ( 1/(1+x²))-(1/x²)(1/(1+(1/x)²))
= ( 1/(1+x²)) -(1/x²)(x²/(1+x²))
= ( 1/(1+x²)) - (x²/(x²(1+x²)))
= (x²-x²)/(x²(1+x²))
= 0

Est ce exacte ?

Que dois je faire pour la question 2b ? je suis totalement perdue

s'il vous plait, aidez moi.

H'(x) = 0,

donc H(x) = .......

Donc H est une fonction constante.

Est ce que ça veux dire que H(1)= H(x)= 2F(1) ?

Oui, H(x) est une constante donc tu peux choisir x = 1.

Merci, pour la question suivante.
Il faut en deduire que lim F(x) = lim H(x) quand x tend vers +∞ ?

Pour cela je fais la limite de F(x) sachant que F(x)= F(1/x) - H(x) ?
Donc Lim (1/x) = 0 quand x tend vers +∞ donc lim F(1/x) =0 quand x tend vers +∞
Ainsi Lim F(x) = lim -H(x) quand x tend vers +∞
Et comme H(x) constante alors lim F(x) = 2F(1)

Est ce exacte ?

C'est correct :
Rajoute : lim F(1/x) =F(0) = 0

Merci beaucoup pour le reste j'ai réussi toute seule. Encore merci.