Etudier les variations et les extremums d'une fonction de second degré



  • Bonjour,
    j'ai un DM de maths à faire et j'ai fait les premières questions mais je ne sais pas si mes résultats sont justes. Je bloque pour les deux dernières questions. Pouvez vous m'aider s'il vous plaît ?

    Dans un plan muni d'un repère orthonormé (O;;), on considère la courbe C d'équation y = x et le point A(2;0).
    L'objet de ce problème est de déterminer le point de C qui est le plus proche de A.

    1)Soit x un réel positif et M le point de la courbe C d'abscisse x. Exprimer AM en fonction de x.
    --> AM² = Ax² + xM²
    = (x-2)² + y²
    = (x-2)² + x

    Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0;+∞[ par: f(x) = (x- 3/2)² + 7/4

    1. Quelle relation existe-t-il entre AM et f(x) ?
      --> AM² = f(x)

    Je ne sais pas si je dois justifier par quelque chose pour le 1) et le 2).

    1. Déterminer les variations de la fonction f sur l'intervalle [0;+∞[.
      --> x ≤ y sur [0;+∞[
      x + 3/2 ≤ y + 3/2
      (x + 3/2)² ≤ (y + 3/2)²
      (x + 3/2)² + 7/4 ≤ (y + 3/2)² + 7/4
      f(x) ≤ f(y)
      Donc f est croissante sur [0;+∞[.

    4)a.En déduire les variations de la distance AM en fonction de x.
    b.Quelles sont les coordonnées du point M pour lequel la distance AM est minimal ? préciser la valeur de ce minimun.

    fichier math

    Merci d'avance !



  • Bonjour,

    Pour la question 2), tu dois montrer que f(x) = AM² en développant les expressions par exemple.

    Question 3) les variations sont fausses.
    Rectifie.



  • Je ne vois pas ce qu'il y a de faux pour les variations de f



  • Ce n'est pas :
    x + 3/2 ≤ y + 3/2
    mais
    x - 3/2 ≤ y - 3/2

    Tu peux élever au carré et ne pas changer le signe que si les deux termes sont positifs !



  • Ah okay.
    donc:
    x ≤ y sur [0;+∞[
    x - 3/2 ≤ y - 3/2
    (x - 3/2)² ≤ (y - 3/2)² le signe ne change pas puisqu'on est dans [0;+∞[
    (x - 3/2)² + 7/4 ≤ (y - 3/2)² + 7/4
    f(x) ≤ f(y)

    J'ai développé AM² = x² - 3x + 4, est ce que cette forme je dois la mettre dans le 1) où le fait de m’arrêter à (x-2)² + x suffit pour répondre à la question ?



  • Tu peux écrire :
    x - 3/2 ≤ y - 3/2
    (x - 3/2)² ≤ (y - 3/2)² que si x et y ≥ 3/2.

    A partir de f(x) = (x- 3/2)² + 7/4, cherche le minimum.

    Pour la question 2), développe aussi f(x).



  • pour la 2) j'ai trouvé f(x) = x² -3x + 4

    euh je fais comment pour la 4)a. ?

    Le minimum est 3/2.



  • Quelles sont les variations de la fonction x² ?



  • décroissant sur ]-∞;0] et croissant sur [0;+∞[.
    Mais pourquoi la fonction x²
    je ne comprends pas



  • Car la fonction : f(x) = (x- 3/2)² + 7/4
    est de la forme X² + 7/4,
    donc variation similaire à x²
    décroissante de 0 à 3/2, puis croissante de 3/2 à +∞.



  • ah okay
    donc, les variations de AM en fonction de x sont décroissante de [0;3/2], puis croissante de [3/2;+∞].



  • Oui.


 

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