Etudier les variations, les limites, le centre de symétrie et les tangentes d'une fonction avec exponentiel



  • Bonjour à tous ,
    Voici un exercice que je n'arrive pas à résoudre entièrement. Pouvez-vous m'aider?

    Soit f la fonction définie par f(x)= (e^x)/(e^x + 1) et C sa courbe représentative

    1. Justifier que, pour tout x ∈ R, f(x) = 1/ ( 1+e^-x)

    2. Calculer mes limites de f en +∞ et -∞, et interpréter graphiquement.

    3. Etudier les variations de f

    4. Prouver que I ( 0 ; 1/2) est centre de symétrie de C

    5. Déterminer une équation de la tangente T à C en I

    6. Pour tout x ∈ R, on pose φ (x) = (1/4)x + (1/2) - f(x)
      a)Prouver que φ'(x) = (e^x - 1)²/4(e^x + 1)²
      b) Donner le sens de variation de φ
      c) Calculer φ(0) et en déduire le signe de φ(x). Quelle interprétation graphique du signe de φ peut-on en donner à l'aide de C et T

    Voici je que j'ai fais :

    1. Lim x→ + ∞ 1/(1+e^-x) = 1
      Lim x→ - ∞ 1/(1+e^-x) = 0

    mais je ne vois pas comment interpréter graphiquement

    1. f est dérivable sur R
      donc f' est dérivable sur R
      pour tout x de R, f'(x) = [e^x(1+e^x)-e^x * e^x] / (1+e^x)²
      donc f'(x) = e^x / (1+e^x)²

    Donc pour tout x de R, e^x > 0 donc f'(x) > 0
    f(x) est donc strictement croissante sur R

    1. Pour tout x de R, [f(0-x) + f(0+x)] /2 = [ (e^-x)/(1+e^-x) + (e^x)/(1+e^x)] /2
      on obtient : [f(0-x) + f(0+x)] /2 = 1/2 [ (e^-x (1+e^x) + e^x (1+e^-x)] / [ (1+e^-x)(1+e^x)]
      = 1/2 [ (e^-x +1+e^x +1) / 1+e^x +e^-x +1 ] =1/2

    On en déduit que I (0 ; 1/2) est le centre de symétrie de C

    voila ou j'en suis arrivée pouvez vous m'aider pour la premiere question et voir si les autres sont bonnes


  • Modérateurs

    Bonsoir

    1. factorise exe^x
    2. Asymptote ?


  • tu peux re trouver la correction de cette exercice sur www.mathsgratuit.fr


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