Etudier les variations, les limites, le centre de symétrie et les tangentes d'une fonction avec exponentiel

Bonjour à tous ,
Voici un exercice que je n'arrive pas à résoudre entièrement. Pouvez-vous m'aider?

Soit f la fonction définie par f(x)= (e^x)/(e^x + 1) et C sa courbe représentative

Justifier que, pour tout x ∈ R, f(x) = 1/ ( 1+e^-x)
Calculer mes limites de f en +∞ et -∞, et interpréter graphiquement.
Etudier les variations de f
Prouver que I ( 0 ; 1/2) est centre de symétrie de C
Déterminer une équation de la tangente T à C en I
Pour tout x ∈ R, on pose φ (x) = (1/4)x + (1/2) - f(x)
a)Prouver que φ'(x) = (e^x - 1)²/4(e^x + 1)²
b) Donner le sens de variation de φ
c) Calculer φ(0) et en déduire le signe de φ(x). Quelle interprétation graphique du signe de φ peut-on en donner à l'aide de C et T

Voici je que j'ai fais :

mais je ne vois pas comment interpréter graphiquement

f est dérivable sur R
donc f' est dérivable sur R
pour tout x de R, f'(x) = [e^x(1+e^x)-e^x * e^x] / (1+e^x)²
donc f'(x) = e^x / (1+e^x)²

Donc pour tout x de R, e^x > 0 donc f'(x) > 0
f(x) est donc strictement croissante sur R

Pour tout x de R, [f(0-x) + f(0+x)] /2 = [ (e^-x)/(1+e^-x) + (e^x)/(1+e^x)] /2
on obtient : [f(0-x) + f(0+x)] /2 = 1/2 [ (e^-x (1+e^x) + e^x (1+e^-x)] / [ (1+e^-x)(1+e^x)]
= 1/2 [ (e^-x +1+e^x +1) / 1+e^x +e^-x +1 ] =1/2

On en déduit que I (0 ; 1/2) est le centre de symétrie de C

voila ou j'en suis arrivée pouvez vous m'aider pour la premiere question et voir si les autres sont bonnes

Bonsoir

tu peux re trouver la correction de cette exercice sur www.mathsgratuit.fr