Exercice sur feuille: logarithmes népériens

Bonjour,

je rencontre des difficultés dans un exercice que je dois rendre. En fait, ce n'est pas que je ne comprends pas mais j'obtiens des résutats assez... incohérents. Peut-être que je ne me sers pas de bonnes formules ou que je transforme mal mes expressions. De plus, vers la fin de l'exercice, il y a un mot "mathématique" dont je ne connais pas le sens et je suis obligée de m'arrêter là. Auriez-vous la gentillesse de m'éclairer sur ce qui ne va pas dans mes réponses s'il-vous-plaît ?

Il y a une courbe qui accompagne l'exercice dans le livre mais je ne pense pas que vous en ayez besoin pour comprendre. Il s'agit simplement de la fonction f:x→2x[2(lnx)² - 3ln(x) + 2] (mais cette expression n'est donné que plus tard, je vous la donne pour que vous ayez un aperçu de sa courbe C). Elle est définie sur ]0; + ∞[ et est représentée sur ]0;3[ jusquà une hauteur de 6. Les tangentes horizontales en 1/e et √e ont été tracées, ainsi que la tangente à la courbe C en e. Cette dernière coupe l'axe des abscisses en e/2.

Voici l'énoncé (en rouge) accompagné de mes réponses (en noir) et de mes questions (en noir):

On suppose que l'on a, pour tout réel x strictement positif, l'égalité: f(x)=2x[a(lnx)² + bln(x) + c] où a,b et c sont des réels.

1°) a) Exprimer f'(x) en fonction de a, b et c.

⇒ j'ai débord cherché les dérivées des fonctions présentes entre les crochets. J'ai donc:
(a(lnx)²)' = a2lnx (1/x) en utilisant la formule (ln u)'= 2uu'. J'obtiens (a(lnx)²)'=(a2lnx)/x
Pour blnx: (blnx)'= b/x
(c)'= 0

En ajoutant toutes ces dérivées, j'obtiens comme dérivée entre les crochets (qu'on appellera v(x) ) : v'(x) = (a2lnx)/x + b/x = (2aln(x) + b)/x

J'appelle ensuite u(x) le 2x qui est en dehors des crochets:
u(x)= 2x donc u'(x) = 2

f'(x)= $u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v(x)2\frac{ u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$
= $2[a(lnx)2+bln(x)+c]−(2x∗2aln(x)+b)[a(lnx)2+bln(x)+c]2\frac{2[a(lnx)^2 + bln(x) + c] - (2x*2aln(x) + b)}{[a(lnx)^2 + bln(x) + c]^2}$
= $2a(lnx)2+bln(x)+c−[2bx+4axlnx]/x[a(lnx)2+bln(x)+c]2\frac{2a(lnx)^2 + bln(x) + c - [2bx + 4axlnx]/x}{[a(lnx)^2 + bln(x) + c]^2}$
= $2a(lnx)2+bln(x)+c+(−2bx−4axlnx)/x[a(lnx)2+bln(x)+c]2\frac{2a(lnx)^2 + bln(x) + c + (-2bx - 4axlnx)/x}{[a(lnx)^2 + bln(x) + c]^2}$
= $[2ax(lnx)2+bxln(x)+cx−2bx−4xlnx]/x[a(lnx)2+bln(x)+c]2\frac{[2ax(lnx)^2 +bxln(x) + cx - 2bx - 4xlnx]/x}{[a(lnx)^2 + bln(x) + c]^2}$
= $2ax(lnx)2+bxln(x)+cx−2bx−4axlnxx[a(lnx)2+bln(x)+c]2\frac{2ax(lnx)^2 + bxln(x) + cx - 2bx - 4axlnx}{x[a(lnx)^2 + bln(x) + c]^2}$

Mais quand je trace cette dérivée à la calculatrice graphique, son signe ne colle pas avc les variations de la courbe C. Donc elle est fausse. Où ai-je fait une erreur ? Et à la fin, dois-je regrouper par a, b et c au numérateur ? Dois-je développer le dénominateur ?

b)A l'aide des informations données sur le graphique, déterminer les valeurs de f'(1/e), f'(√e) et f'(e).

⇒ La tangente à la courbe en 1/e est horizontale donc son coeff directeur est f'(1/e)=0
La tangente à la courbe en √e est horizontale donc son coeff directeur est f'(√e)= 0
La tangente à la courbe en e a pour coefficient directeur f'(e)=4. Mais je ne suis pas sûre, j'ai "calculé ça" avec ma règle sur le livre. Comment puis-je vérifier ?

c) En déduire que pour tout réel x strictement positif, on a l'égalité: f(x)=2x[2(lnx)² - 3ln(x) + 2] (ce que je vous ai donné au début).

⇒ Je ne sais pas comment répondre à cette question... ?

2°) On veut démontrer que la limite de f en 0 est égale à 0.
a) Sachant que $−∞t2exp⁡(t)\lim_{x\rightarrow \ - \infty } t^2\exp(t)$ = 0, démontrer que: $lim⁡x→0x(lnx)2=0\lim_{x\rightarrow 0} x(lnx)^2 = 0$

⇒ On pose X= lnx.
$lim⁡x→0lnx=−∞\lim_{x\rightarrow 0} lnx = -\infty$
Par composée, $lim⁡x→0x(lnx)2=lim⁡x→−∞x2exp⁡x=0\lim_{x\rightarrow 0} x(lnx)^2 = \lim_{x\rightarrow -\infty} x^2\exp x = 0$

b) En déduire que $lim⁡x→0f(x)=0\lim_{x\rightarrow 0} f(x) = 0$ .

⇒ $lim⁡x→0f(x)=lim⁡x→02x[2(lnx)2−3ln(x)+2]=lim⁡x→04x(lnx)2−6xln(x)+4x\lim_{x\rightarrow 0} f(x) = \lim_{x\rightarrow 0} 2x[2(lnx)^2 - 3ln(x) + 2] = \lim_{x\rightarrow 0} 4x(lnx)^2 - 6xln(x) + 4x$

Or: $lim⁡x→04x(lnx)2=0,lim⁡x→0−6xlnx=0,lim⁡x→04x=0\lim_{x\rightarrow 0} 4x(lnx)^2 = 0, \lim_{x\rightarrow 0} -6xlnx = 0,\lim_{x\rightarrow 0} 4x =0$ . Donc, par somme, $lim⁡x→0f(x)=0\lim_{x\rightarrow 0} f(x) = 0$ .

3°) a) Déterminer la limite de F en + ∞. $lim⁡x→+∞f(x)=lim⁡x→+∞2x[2(lnx)2−3ln(x)+2]=lim⁡x→+∞2xln(x)[2ln(x)−3+2]\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x) = \lim_{x\rightarrow +\infty } 2x[2(lnx)^2 - 3ln(x) + 2]= \lim_{x\rightarrow +\infty } 2xln(x)[2ln(x) - 3 + 2]$

Or: $lim⁡x→+∞2lnx=+∞,lim⁡x→+∞−3+2=−1\lim_{x\rightarrow +\infty } 2lnx = +\infty, \lim_{x\rightarrow +\infty } -3 + 2 = -1$ donc par somme, $lim⁡x→+∞2ln(x)−3+2=+∞\lim_{x\rightarrow +\infty } 2ln(x) - 3 + 2 = +\infty$
Or: $lim⁡x→+∞2xlnx=+∞\lim_{x\rightarrow +\infty } 2xlnx = +\infty$ , donc par produit, $lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x) = +\infty$ .

b) Montrer que pour tout reel x strictement positif, on a l'égalité: f'(x)= 2(ln(x) + 1)(2ln(x) - 1)

⇒ Comme je n'ai pas trouvé une dérivée juste au début de l'exercice je ne peux pas comparer...

c) Etudier le signe de f'(x) et dreser le tableur de variations de f.

⇒ 2 > 0 pour tout x.

ln(x) + 1 > 0 ssi lnx > -1 ssi x > $exp⁡−1\exp -1$ .

2ln(x) - 1 > 0 ssi 2lnx > 1 ssi lnx > 1/2 ssi x > $exp⁡(1/2)\exp (1/2)$ ssi x > √e

J'ai fait mon tableau de variations (sur ]0;+∞[) en fonction de ça. Je trouve f croissante sur ]o; $exp⁡−1\exp -1$ ] et sur [√e;+∞[. f est décroissante sur [ $exp⁡−1\exp -1$ ;√e].
Pour les images, j'ai trouvé $f(exp⁡−1)=14exp⁡−1f(\exp -1)= 14\exp -1$ et f(√e)=2√e.

3°) Soit $α∈r\alpha \in r$ . On note D( $α\alpha$ ) la droite d'équation y= $αx\alpha x$ .
a)
Démontrer que C et D(2)(??? erreur d'impression ou est-ce qu'on me demande de remplacer $α\alpha$ par 2 ??)
dont on calculera les abcisses.

⇒ Je vous préviens, cela me donne quelque chose de bizarre. Pour trouver les abscisses des points d'intersection j'ai écrit l'égalité:

2x[2(lnx)^2 - 3ln(x) + 2] = $αx\alpha x$
2x[2(lnx)^2 - 3ln(x) + 2] - $αx\alpha x$ = 0
Je factorise par 2x: 2x[2(lnx)^2 - 3ln(x) + 2 - (1/2) $α\alpha$ ] = 0
2x[2*(1/2)ln(x) - 3ln(x) + 2 - (1/2) $α\alpha$ ] = 0
2x[ln(x) - 3ln(x) + (4/2) - (1/2) $α\alpha$ ] = 0
2x[-2ln(x) + (4/2) - (1/2) $α\alpha$ ] = 0

Ce qui équivaut à:
2x = 0 ou -2ln(x) + (4/2) - (1/2) $α\alpha$ = 0
x= 0 ou -2ln(x) = (-4/2) + (1/2) $α\alpha$
lnx = (-4/-4) - (1/4) $α\alpha$
lnx = (4/4) - (1/4) $α\alpha$
lnx = $α\alpha$ ( (4/4 $α\alpha$ ) - (1/4) )
x = $exp⁡(α(1α−14)\exp (\alpha (\frac{1}{\alpha } - \frac{1}{4})$

Qu'en pensez-vous ?

b) Emettre des conjectures sur le nombre d'éléments de C∩D( $α\alpha$ ) selon les valeurs de $α\alpha$ . Démontrer, au choix, l'une de ces conjectures.

⇒ Qu'est-ce qu'un élément ??

Merci d'avance pour votre aide précieuse,

Pepsylily.

Bonjour,

Reprends le calcul de la dérivée à partir de la troisième ligne, au lieu de réduire au même dénominateur (x), simplifie le terme de droite (division par x).

Utilise ensuite les valeurs particulières de la dérivée pour écrire un système de trois équations à trois inconnues a, b et c.

Ah, j'au peut-être oublié de distribuer le 2 à la troisième ligne:

$2a(lnx)2+2bln(x)+2c−4aln(x)−2b[a(lnx)2+bln(x)+c]2\frac{2a(lnx)^2 + 2bln(x) + 2c - 4aln(x) -2b}{ [a(lnx)^2 + bln(x) + c]^2}$

j'ai simplifié par x comme vous me l'avez conseillé. C'est juste cette fois ?

Par contre je ne comprends pas ce que vous voulez dire par "système à trois inconnues" .

A partir de f'(1/e) = 0
tu déduis
f'(1/e) = (2a-2b+2c+4a-2b)/(a-b+c)²
Vérifie le calcul et simplifie l'expression.
puis tu écris la relation correspondant à f'(1/e) = 0.

Euh, mais ils sont passés où les ln x dans f'(1/e) = (2a-2b+2c+4a-2b)/(a-b+c) ?

Ah je vois, ln 1/e = - 1 , c'est pour ça qu'ls ont disparu ??

Mais comment avez-vous fait disparaître le carré au dénominateur ?

Un oubli du carré pour le dénominateur :

f'(1/e) = (2a-2b+2c+4a-2b)/(a-b+c)²

Ok, je comprends mieux. Mais ... a(lnx)^2 quand on remplace x par 1/e, ça ne fait pas (1/2)a*ln(1/e)= -a/2 ?

Ah non ! c'est (lnx)^2 et non pas ln(x^2) , ok.

Je vais donc écrire l'expression avec les a b et c et simplifier.

2a - 2b + 2c + 4a - 2b = a + b +c
6a - 4b + 2c = a + b + c
5a -5b + c= 0

mais comment puis-je obtenir les 2 autres équations pour le système ? grâce à f'(√e)= 0 et f'(e) = 4 ? Sauf que je ne suis pas sure de mon f'(e) = 4

Pour f'(√e) = 0, j'ai l'expression suivante:
a/2 + b + 2c - 2b + 2a = a/4 + b/2 + c, c'est juste ?

Attention :

f'(1/e) = (2a-2b+2c+4a-2b)/(a-b+c)²
f'(1/e) = (6a-4b+2c)/(a-b+c)²
et
f'(1/e) = 0
donne 6a -4b + 2c = 0, soit 3a - 2b + c = 0

Pour √e
f'(√e) = .....
Vérifie ton calcul

Ah oui, le carré... mais comment avez-vous développé le carré de (a + b + c)² pour n'obtenir aucun carré à la fin ?
J'ai du mal à comprendre: le raisonnement c'est bien se servir du fait que f'(1/e)= 0 pour établir $2a−2b+2c−2b+4a(a−b+c)2\frac{2a - 2b + 2c - 2b + 4a }{( a - b + c)^2}$ =0 ?
Donc on a: 2a - 2b + 2c + 4a -2b = (a + b + c)²
6a -4b + 2c = (a + b + c)² et pas 6a -4b + 2c = 0 ou 3a - 2b + c=0.

Pourriez-vous être plus claire dans la démarche que vous suivez s'il-vous-plaît ?

Ma question est : pourquoi avez-vous laissé de côté le (a + b + c)² pour directement écrire 6a -4b + 2c = 0? Parce que c'est toujours positif donc on peut s'en débarrasser ?

Non,

Une fraction est nulle si son numérateur est nul et son dénominateur différent de 0.

Exemple :
(4x-3)/(2x+7) = 0 si 4x-3 = 0, soit x = 3/4
Vérification
si x = 3/4 ; 4x-3 = 43/4 - 3 = 0
et
2x+7 = 23/4 + 7 = 17/2

0/ (17/2) = 0

Oui. Mais on ne doit pas vérifier qu'il n'y a pas une valeur interdite ? Ah... on ne cherche la valeur interdite que pour le signe, c'est ça ?

Bon, quoiqu'il en soit, j'ai cherché pour √e. J'obtiens 5a/2 - b + 2c = 0 car ln√e= (1/2)lne = 1/2 (fomule que j'ai beaucoup utilisé dans le calcul)

Vérifie le calcul, le coefficient de a est faux.

Bon, je réessaie:

on au numérateur de la dérivée: 2a(lnx)² + 2bln(x) + 2c - 2b + 4alnx
En remplaçant par √e: 2a(ln√e)² + 2bln(√E) + 2c - 2b + 4aln√e
En appliquant la formule de cours: 2a( $12\frac{1}{2}$ lne)² + 2b( $12\frac{1}{2}$ lne) + 2c - 2b + 4a( $12\frac{1}{2}$ lne)
Or lne=1 donc on a: 2a(1/2) + 2b(1/2) + 2c - 2b + 4a(1/2)
donc: a + b + 2c - 2b + 2a
soit: 3a -b + 2c.

Est-ce que là c'est bon ?

Non, ca ne va pas, il faut appliquer le carré au premier ln. donc c'est bien ça: 2a( $12\frac{1}{2}$
lne)²= 2a*(1/4) = (2/4)a= (1/2)a
s on ajoute au 2a qui viennent après ça fait bien 2a + (1/2)a = 4a/2 + a/2= 5a/2.

Arf, je ne vois pas où mon erreur.

Une erreur de signe pour le dernier terme
le numérateur est :
2a(lnx)² + 2bln(x) + 2c - 2b - 4alnx

Oui, il semble que ce soit ca. Donc du coup... j'ai a/2 - 4a/2 = -3a/2 comme premier terme de mon équation pour le système ?

Oui.

Maitenant pour ce qui est de la troisième équation dont j'ai besoin, comnent puis-je procéder ? Vou ne m'avez pas dit si mon f'(e) = 4 était juste. Je ne crois pas qu'il le soit...

comment fait-on pour calculer le coefficient d'une droite qui passe par deux points connus ? Car la tangente en e de la courbe passe par (e;2e) et (e/2;0). SI j'arrive à avoir ce coeff, j'aurai f'(a) donc f'(e).

Indique tes calculs pour f'(e) = 4

Pour déterminer l'équation de la tangente,
utilise la donnée : la tangente à la courbe C en e coupe l'axe des abscisses en e/2.

f'(e) = 4 ne résulte d'aucun calcul. La question dit "à l'aide des informations données sur le graphique" alors j'ai regardé de combien d'unités la courbe monte pour une unité à droite (vertical sur horizontal= 4/1= 4)
Mais il vaut mieux que je le calcule avec la tangente.
T: y= f'(e)(x-e) + f(e)
mais c'est justement f'(e) que je cherche...
Je peux peut-être faire un système sachant que je connais 2 points et que l'equation de la tangente est forcément du type ax + b:

ae + b= 2e point utilisé: (e;2e)
ae/2 + b = 0 point utilisé: (e/2;0)

a= (2e - b)/e
$((2e−be∗e)/2)+b=0((\frac{2e - b}{e}*e)/2) + b=0$

a= (2e - b)/e
(2e-b)/2 + b = 0

a= (2e - b)/e
e - b/2 + b = 0

a= (2e - b)/e
b/2 = -e

a= (2e - b)/e
b= -2e

est-ce que c'est correct ?

Maintenant je calcule a: a= (2e -b)/e= 4

Donc, j'avais juste ! Youpi !

Oui,

A partir des coordonnées des deux points
ae + b= 2e point utilisé: (e;2e)
ae/2 + b = 0 point utilisé: (e/2;0)

par soustraction
ae -ae/2 = 2e, soit ae/2 = 2e, donc a = 4.

Donc f'(e) = 4, écris la troisième équation.

Merci, ce soir, je m'y remets et je vais essayer de trouver la troisième équation et de résoudre le système afin de trouver les coeff qu'il faut. Je vous communique mes résultats lorsque j'ai fini.

Je viens de m'apercevoir d'une erreur que vous ne m'avez pas signalée (peut-être ne l'avez-vous pas vue): ma fonction est un produit u(x)v(x) donc la dérivée est u'(x)v(x) + u(x)v'(x) et non pas $u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v(x)2\frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$ . Je vais tout refaire.

Bon, après avoir refait tous les calculs, j'ai enfin trouvé la bonne dérivée qui est: 2a(lnx)² + 2ln(x) + 2c + 4aln(x) + 2b.
J'ai donc trouvé les vraies équations du système à trois inconnues:
-a+c=0
(5/2)a+3b+2c=0
3a+2b+c=2
Et pour finir, j'ai trouvé a, b et c et je sais qu'ils sont justes car ils sont ceux que je devais trouver: a=c=2 et b=-3.
Pour les autres questions, je pense qu'elles étaient justes car plutôt cohérentes.
J'aimerais par contre avoir votre avis sur la question 3)a) car je trouvais des abscisses de points d'intersection bizarres... D'autre part, je ne comprends la question 3)b) qui parle d'"éléments".

Bonjour, apparemment, le D(2) à la question a) ne serait pas une erreur d'impression/écriture, mais on demanderait de remplacer alpha par 2.
j'ai donc fait f(x) - 2x=0 soit 2x[2(lnx)² -3ln(x) + 2] - 2x=0 et j'ai obtenu en factorisant par 2x l'équation 2x[2(lnx)² -3lnx + 1]= 0 ce qui équivaut à 2x=0 ou 2(lnx)² -3ln(x) + 1=0.
Pour 2x=0, x=0
Pour l'autre équation j'ai fait un changement de variable: X=ln(x) du coup j'ai l'équation 2X² -3X + 1 à résoudre.
Delta est positif donc deux solutions dans R qui sont X=1 et X=1/2.
X=1 ssi lnx=1 donc ssi x=e.
X=2 ssi lnx=1/2 ssi x=√e.

Donc je serais tentée de dire qu'il ya trois points d'intersection mais la question me dit qu'il n'y en a que deux... Ai-je fait une erreur quelque part ?

Exact,

la fonction étant :
f(x) = 2x[a(lnx)² +bln(x) + c]
sa dérivée
f'(x) = 2[a(lnx)² + bln(x) + c] +2x[2a(lnx)/x +b/x]
= 2a(lnx)² + (2 b+4a) lnx + 2c + 2b

Pour D(2), c'est bien α = 2

La fonction est définie pour x>0, donc x = 0 n'est pas solution.

Ok. Donc mes deux abscisses de points d'intersection sont e et √e.

Au sujet de la question 3)b), j'ai fait une conjecture mais je ne suis pas sûre: avec ma caculatrice graph j'ai cherché à partir de quel valeur de x on a deux points d'intersection et non plus 0 (pour x<7/4 j'ai vu que la fonction est toujours positive donc au dessus de l'axe des abscisses). Il semble que ce soit environ 1.65 soit 7/4. Mais je n'en suis pas sûre car ce n'est pas très précis.

Pour le prouver, que dois-je faire ? Dois-je remplacer alpha par 7/4 et voir si j'obtiens 1 point d'intersection (ce sera déjà ça) ? Mais comment puis-je faire pour prouver, après, que toutes les valeurs au dessus de 7/4 font qu'il y a deux points d'intersection ? J'ai une vague idée de théorème des valeurs intermédiaires mais bon.

Tu conjectures qu'il peut y avoir, 0, 1 ou 2 points d'intersection.
tu résous ensuite l'équation f(x) = αx

Comme il ne faut démontrer qu'une conjecture sur les trois, j'ai choisi de démontrer qu'il n'ya qu'un seul point d'intersection si alpha=7/4.
J'ai donc remplacé alpha apr 7/4 dans l'équation f(x) - alpha*x = 0
J'ai obtenu un trinôme de logarithme, j'ai changé la variable lnx en X et j'ai trouvé un delta égal à 0. Donc il n'ya qu'une solution, donc il ny'a qu'un point d'intersection.

Mais par curiosité, comment aurais-je fait pour démontrer qu'il n'yen a pas si x<7/4 et qu'il y en a deux si x>7/4 ?

Tu résous l'équation f(x) -αx = 0.
L'étude du signe du discriminant te donne les différents cas possibles.