Calcul de limites de fonctions trigonométriques

[naplhitl]

lim(x tend vers∏ /4) (tanx-1)/(2cosx-√2 )
lim x→0 x/a × E(b/x)
lim x→∏/4 (x-∏/4) tan(x+∏/4)
limx→0 2/sin²x – 1 / (1-cosx)
lim +∞ xsin(1/x)
limx→0 x sin(1/x)
lim x→0+ √xcos(1/x)
lim x→2 [√(x+2) +√(x²+5) - 5] / [ √(3x -2) + √(4x²+5x+23) -9]
limx→0+ √(1/x+√(1/x)) - √(1/x)
limx→0 [√(1-sinx)+x²+x-1] /x
lim x→0 [(cosx+sinx)³-1] / x
limx→0 [|x| +|x-1|-|x+1|] /x²

[Noemi]

Bonsoir,

Indique tes éléments de réponse.

[naplhitl]

tu veux dire que j'écrive la solution que je propose?

[naplhitl]

bon pour la première c’est trop de tralala,voilà ce quej’ai fait
lim(x tend vers∏ /4) (tanx-1)/(2cosx-√2 )
je vais d’abord simplifier au maximum la fonction :
tanx-1=(sinx-cosx)/cosx (j’ai remplacé tanx par sinx/cosx)
= -(cosx-sinx)/cosx
= -√2 cos(x+∏ /4)/cosx
Donc finalement : (tanx-1)/(2cosx-√2 )= [ -√2 cos(x+∏ /4)] / [ cosx(2cosx-√2 ) ]
=[ -√2 cos(x+∏ /4)] / [2cos²x - √2 cosx]
= [ -√2 cos(x+∏ /4)]/ [cos2x+1 - √2cosx] (on sait que cos 2x= 2cos²x-1)
Maintenant pour trouver la limite de la fonction quand x tend vers ∏ /4 je vais faire un changement de variable,
Je pose h= x-∏ /4 comme ça quand x tend vers ∏ /4 h tend vers 0
Ainsi on a :
lim(x tend vers∏ /4) (tanx-1)/(2cosx-√2 )= lim(x tend vers∏ /4) [ -√2 cos(x+∏ /4)]/ [cos2x+1 - √2cosx]
lim(h tend vers 0) [ -√2 cos(h+∏ /2)]/ [cos(2h+∏ /2) +1 - √2cos(h+∏ /4)] (x=h+∏ /4)
= lim(h tend vers 0) √2sinh / ( -sin2h+1+√2sin(h- ∏ /4) )
= lim(h tend vers 0) √2sinh/ [ 1- 2coshsinh +sinh-cosh]
= lim(h tend vers 0) √2sinh / [ 1- cosh +sinh(1-2cosh)]
On a lim(h tend vers 0) √2sinh/h =√2
Et lim(h tend vers 0) ( 1-cosh) /h= lim(h tend vers 0) h× ( 1-cosh) /h²= 0×1/2= 0
Et lim(h tend vers 0) sinh(1-2cosh)/ h = 1× (1-2)= -1
Donc lim(h tend vers 0) √2sinh / [ 1- cosh +sinh(1-2cosh)]= -√2
(jai divisé le nominateur et ledénominateur sur h)