Exercice sur les intégrales et les suites

Bonjour,

j'ai un exercice à faire à la maison et je bloque un peu (non, en fait, pas qu'un peu). Je ne ne vois pas comment répondre à la première question; j'ai essayé plusieurs méthodes mais j'arrive toujours à une forme indéterminée.

Voici
l'énoncé: Soit f la fonction définie sur [0;+∞[ par f(x)=√(x)*exp(1-x)

1)a) Déterminer la limite de la fonction f en +∞ (on pourra exploiter l'écriture pour tout x>0, f(x)= (e/√x)*(x/expx)

Au début j'ai assayé d'utiliser la forme directement donnée entre parenthèses mais j'obtiens une FI de produit (00). Alors j'ai essayé de la remanier en simplifiant par √x mais cette fois-ci je tombe sur une FI de quotient (∞/∞). Finalement, j'ai abandonné la forme censée aider pour me concentrer sur la forme donnée par l'énoncé en y allant par étapes: d'abord déterminer la limite de l'exponentielle, puis celle du produit sous la racine et enfin de la racine en effectuant à chaque fois des changements de variables. Mais en voulant calculer la limtie du produit sous la racine je suis bloquée par une FI de produit (o∞). Comment dois-je procéder ?

b) Calculer f'(x) pour x>0. En déduire les variations de f sur [0;+∞[.
c) Déterminer le signe de f sur [0;+∞[

On considère la suite (Un) définie pour tout entier naturel n non nul par Un= $∫nn+1f(t)dt\int_{n}^{n+1}{f(t)dt}$
a) Interpréter géométriquement Un
b) Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, f(n+1)≤Un≤f(n)
c) En déduire que (Un) est décroissante
d) Prouver la convergence de la suite (Un) et déterminer sa limite
On considère la fonction numérique F de la variable x définie sur [1;+∞[ par F(x)= $∫1xf(t)dt\int_{1}^{x}{f(t)dt}$
a) Montrer que F est dérivable sur [1;+∞[ et calculer F(x)
b) En déduire les variations de la fonction F
c) Démontrer que pour tout t>0, on a l'intégralité t+2≥2√2√t
En déduire que pour tout x≥1, F(x)≤(1/2√2) $∫1x(t+2)exp⁡(1−t)dt\int_{1}^{x}{(t+2)\exp(1-t)dt}$
d) A l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout x≥1,
$∫1x(t+2)exp⁡(1−t)dt\int_{1}^{x}{(t+2)\exp(1-t)dt}$ =4-(x+3)exp(1-x)
e) En déduire que pour tout x≥1, 0≤F(x)≤√2
On note pour tout entier naturel n non nul, Sn la somme des n+1 premiers termes de la suite (Un). Exprimer Sn à l'aide d'une intégrale. Montrer que la suite (Sn) converge et encadrer sa limite.

En vous remerçiant de votre aide,

Pepsylily

Bonjour,

mais lim $e^x$ /x = +∞ quand x tend vers +∞

et lim e/√x = 0 si x tend vers +∞

Je suis d'accord avec vous lim : expx/x = +∞ quand x tend vers +∞ mais ici il s'agit de x/exp x donc ca tend, non plus vers l'infini, mais 0, non ?
du coup on a 0 multiplié par linfini (FI).

Non, cela fait 0 x 0 = ...

oui mais 0*0 est une FI. Enfin d'après mon cours. Ah non ! cest 0/0 qui est une FI. Excusez-moi. Je vais donc continuer avec la première méthode. Je vous le signale si je rencontre un autre problème, merci.

Re-bonjour,

alors j'ai réussi la première question ( a) b) c) ). J'ai trouvé f'(x)=(exp(1-x) - 2xexp(1-x) )/ 2√x. f'(x) est positive sur ]0;1/2[ et négative sur ]1/2;+∞[ donc f est croissante sur ]0;1/2[ et décroissante sur ]1/2;+∞[. f>0 pour tout x de [0;+∞[ (d'après le tableau de variations complet 0 est le minimum)

Je suis arrivée à la 2) b) mais je ne sais pas comment faire. Est-ce que je dois d'abord faire une intégration par parties pour avoir une expression de Un ?

Lorsque je fais l'intégration par parties je suis bloquée car je me retrouve avec un autre intégrale qui semble elle aussi nécessiter une autre intégration par parties et ainsi de suite...