Etude d'une fonction avec intégrale

[aph]

salut j'ai été bloqué sur un exos : voici l'énoncé pour tout x ∈ à R $f(x)={\int }_0^x\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}dt$, on pose G(x) = F(2x) - F(x).
a) montrer que G est dérivable sur R et étudier son sens de variation.

b) justifier que ∀ x ∈ ℜ*, $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\le \frac{1}{x}.$

c) déduire de a) et b) que ∀ ∈ ℜ, G(x) ≤ ln2. (on pourra écrire G(x) à l'aide d'une seule intégrale.)

d) Déduire de a) et c) que G(x) admet une limite finie l quand x tend vers +∞.

e) montrer que G est impaire.

f) En déduire de d) et e) que G(x) admet une limite finie quand x tend vers -∞. Exprimer cette limite en fonction de l.

Bref j'ai fait le a), le b), c) et le e) mais je bloque au d) et le f) en fait mon problème c'est la rédaction c'est tout . merci pour votre compréhension.
.

[Noemi]

Bonjour,

As tu écris G(x) avec une seule intégrale ?

[aph]

Non! C'est même là mon problème. En fait je ne sais pas écrire F(2X).

[Noemi]

$f(2x)={\int }_0^{2x}\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}dt$

[aph]

G(x) = F(2x)-F(x) ces deux intégrales ont des bornes # cmt calculer?

[Noemi]

${\int }_0^{2x}\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}dt={\int }_0^x\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}dt+{\int }_x^{2x}\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}dt$

[aph]

merci j'ai réussi et j'ai demontrer!! Dans la même optique l'épreuve avait sa structure au départ

on a: f(x) = $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
on a demander et d'étudier la fonction f(x) et de la tracer.
là c'etait un jeu d'enfant.. Et puis ∀ x ∈ R, on pose F(x) = ${\int }_0^x\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dt$

a) Justifier que F est définie et dérivable sur R.

b) Calculer la dérivée F'(x) de F et déduire le sens de variations de F

bon pour le a) j'ai juste un problème de rédaction
et pour le b) j'ai dit que la dérivée F'(x) = f(x) car sa primitive est la fonction F(x) et que la fonction est strictement croissante. (car en étudiant le signe de f(x) ou F'(x) on trouve 1 = 0 ce qui est impossible donc F' est strictement positive sur R.)

ensuite au premier message que j'ai envoyé où l'on parlait de G(x) j'ai fait le a) le b) et le c) Svp je voudrais que vous m'apprenez à justifier qu'une intégrale est dérivable sur un intervalla K et étudier son sens de variation.
merci!!