Etudier la croissance d'une suite définie par une intégrale

[lilouta]

Bonsoir,
je bloque sur un exo d'intégrales, pouvez-vous m'aider :
voici l'énoncé :

Pour tout entier naturel n, on considère l'intégrale $I_n$ = ∫$$^e$_1$ (ln $x)^n$ dx

1. a. Démontrrer que pour tout x dans l'intervalle ]1 ; e] et pour tout n entier naturel, on a :
   (ln $x)^n$ - (ln $x)^{n+1}$ > 0
   pour cette question, pas de problème

b. En déduire que la suite $(I_n$) est décroissante.
Là aussi pas de problèmes

2. a. Calculer $I_1$, à l'aide d'une intégration par parties.
   Là j'ai trouvé : $I_1$ = 1 , pouvez-vous vérifiez mon résultat

2)b. Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que, pour tout n appartenant $N^*$ :
$I_{n+1}$ = e - $(n+1)I_n$
Là ça se complique : voici ce que j'ai commencé à faire :

$I_{n+1}$ = ∫$$^e$_1$ (ln $x)^{n+1}$ * 1 dx

On pose u' = 1 d'où u = x
et v = (ln $x)^{n+1}$ d'où v' = (n+1) * (ln $x)^n$

Ceci donne :
$I_{n+1}$ = [x * (ln $x)$^{n+1}$]$^e$_1$ - ∫$$^e$_1$ x * (n+1) * (ln $x)^n$ dx

Mon problème c'est que je n'arrive pas à calculer ce qu'il y a entre crochet :
[x * (ln $x)$^{n+1}$]$^e$_1$
= e * ln * $e^{n+1}$
= e * $1^{n+1}$
je crois que j'ai fais n'importe quoi pour le calcul entre crochet...

Merci d'avance pour votre aide

[Noemi]

Bonsoir,

Une erreur dans le calcul de v'.

[lilouta]

v = (ln $x)^{n+1}$ d'où v' = (n+1) * (ln $x)^n$ * (1/x)

j'avais oublié 1/x

et là.....

[Noemi]

C'est correct.

[x-cent-diix]

Commen fait-on pour prouver l'existence d'une primitive ? .

[Noemi]

Applique le théorème : Toute fonction continue sur un intervalle I, admet une primitive sur cet intervalle.

[x-cent-diix]

Merci

[x-cent-diix]

Esce- possible de trouver qu'une primitive est égale a 0 ?

[Noemi]

Tu peux trouver une primitive qui s'annule pour une valeur de x donnée.

[x-cent-diix]

Ah, parce que j'ai sa a faire :

on a $f(x)=e^x$ sin (2t) et F(x)= ∫$^x$ $_0$ f(t)dt

Calculer F(x)

Alors, on a f(t)= u'(x) v(t)
avec u'$(t)=e^t$ et v(t)=sin(2t)

donc, en utilisant une integration par parties,
F(x)= [u(t) $v(t)]^x$ $_0$ - ∫$^x$ $_0$u(t) v'(t)
= $[e^t$ $sin(2t)]^x$ $_0$ - ∫$^x$ $_0$ $e^t$ 2cos2t
$=(e^x$ sin2x - $e^0$sin 2x0) - $[e^t$ $sin2t]^x$ $_0$
$=(e^x$ sin2x - $e^0$sin 2x0) - $(e^x$ sin2x - $e^0$sin 2x0)
=0

[Noemi]

c'est ∫ $e^t$ 2cos2t qui est fausse.

[x-cent-diix]

J'ai trouvé mon erreur, alors j'ai réintégrer par parties ∫ $e^t$ 2cos2t

Et a la fin de mon calcul, je trouve F(x) = $e^x$* sin2x -4

[Noemi]

Je ne trouve pas le même résultat.

Indique tes calculs.

[x-cent-diix]

f(t) = u'(t) x v(t)
avec u'(t)= $e^t$ et v(t)= sin(2t)

donc F(x)= $[u(t)v(t)]$^x$_0$ - ∫$$^x$_0$ u(t) v'(t)
= $[e^t$ sin2t ] $$^x$_0$ - ∫$$^x$_0$ $e^t$ 2cos2t
= $(e^x$ sin2x - $e^0$ sin2*0

Ensuite on réintegre ∫$$^x$_0$ $e^t$ 2cos2t :

on pose u'(x)= $e^t$ u(x)= $e^t$
et v(x)= 2cos2t v'(x)= -4sin2t

∫$$^x$_0$ u'(x) v(x) dx= $[u(x)v(x)]$^x$_0$ - ∫$$^x$_0$ u(x)v'(x) dx
= $[e^t$ $2cos2t]$^x$_0$ - ∫$$^x$_0$ $e^t$ * (-4sin2t) dx
= $(e^x$ 2cos2x - $e^0$ 2cos2*0) - $[e^t$ $2cos2t]$^x$_0$
= $(e^x$ 2cos2x - 2cos0) - $(e^x$ 2cos2x - 2cos0)
= $e^x$ 2cos2x -2 - $e^x$ 2cos2x -2
= -4

Si on rajoute les deux, on a F(x)= $e^x$ sin 2x -4

[Noemi]

Tu as fait la même erreur
∫ $e^t$ * (-4sin2t) dx n'est pas immédiate c'est à un coefficient prêt l'intégrale du départ.

[x-cent-diix]

Il faut donc la réintégrer par parties ?

[Noemi]

Non, tu écris que c'est -4F(x) et tu fais passer ce terme à droite ce qui te donne
5F(x) = .....

[x-cent-diix]

Donc si je le passe de l'autre coté, et en regroupant mes calculs, je trouve 4F(x)= $e^x$ sin2x - $e^x$2cos2x- 2 ?

Non .. j'ai du me tromper, mais ce calcul est tellement brouillon ...

[Noemi]

Je trouve :
5F(x)= $e^x$ sin2x - $2e^x$cos2x+ 2

Vérifie.

[x-cent-diix]

je vérifie et je te dis