Etudier la croissance d'une suite définie par une intégrale

Bonsoir,
je bloque sur un exo d'intégrales, pouvez-vous m'aider :
voici l'énoncé :

Pour tout entier naturel n, on considère l'intégrale $I_n$ = ∫$$^e$_1$ (ln $x)^n$ dx

a. Démontrrer que pour tout x dans l'intervalle ]1 ; e] et pour tout n entier naturel, on a :
(ln $x)^n$ - (ln $x)^{n+1}$ > 0
pour cette question, pas de problème

b. En déduire que la suite $I_n$ ) est décroissante.
Là aussi pas de problèmes

a. Calculer $I_1$ , à l'aide d'une intégration par parties.
Là j'ai trouvé : $I_1$ = 1 , pouvez-vous vérifiez mon résultat

2)b. Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que, pour tout n appartenant $N^*$ :
$I_{n+1}$ = e - $n+1)I_n$
Là ça se complique : voici ce que j'ai commencé à faire :

$I_{n+1}$ = ∫$$^e$_1$ (ln $x)^{n+1}$ * 1 dx

On pose u' = 1 d'où u = x
et v = (ln $x)^{n+1}$ d'où v' = (n+1) * (ln $x)^n$

Ceci donne :
$I_{n+1}$ = [x * (ln $x)$ ^{n+1} $]$ ^e $_1$ - ∫$$^e$_1$ x * (n+1) * (ln $x)^n$ dx

Mon problème c'est que je n'arrive pas à calculer ce qu'il y a entre crochet :
[x * (ln $x)$ ^{n+1} $]$ ^e $_1$
= e * ln * $e^{n+1}$
= e * $1^{n+1}$
je crois que j'ai fais n'importe quoi pour le calcul entre crochet...

Merci d'avance pour votre aide

Bonsoir,

Une erreur dans le calcul de v'.

v = (ln $x)^{n+1}$ d'où v' = (n+1) * (ln $x)^n$ * (1/x)

j'avais oublié 1/x

et là.....

C'est correct.

Commen fait-on pour prouver l'existence d'une primitive ? .

Applique le théorème : Toute fonction continue sur un intervalle I, admet une primitive sur cet intervalle.

Merci

Esce- possible de trouver qu'une primitive est égale a 0 ?

Tu peux trouver une primitive qui s'annule pour une valeur de x donnée.

Ah, parce que j'ai sa a faire :

on a $f(x)=e^x$ sin (2t) et F(x)= ∫ $^x$ $_0$ f(t)dt

Calculer F(x)

Alors, on a f(t)= u'(x) v(t)
avec u' $t)=e^t$ et v(t)=sin(2t)

donc, en utilisant une integration par parties,
F(x)= [u(t) $v(t)]^x$ $_0$ - ∫ $^x$ $_0$ u(t) v'(t)
= $e^t$ $sin(2t)]^x$ $_0$ - ∫ $^x$ $_0$ $e^t$ 2cos2t
$e^x$ sin2x - $e^0$ sin 2x0) - $e^t$ $sin2t]^x$ $_0$
$e^x$ sin2x - $e^0$ sin 2x0) - $e^x$ sin2x - $e^0$ sin 2x0)
=0

c'est ∫ $e^t$ 2cos2t qui est fausse.

J'ai trouvé mon erreur, alors j'ai réintégrer par parties ∫ $e^t$ 2cos2t

Et a la fin de mon calcul, je trouve F(x) = $e^x$ * sin2x -4

Je ne trouve pas le même résultat.

Indique tes calculs.

f(t) = u'(t) x v(t)
avec u'(t)= $e^t$ et v(t)= sin(2t)

donc F(x)= $[u (t) v (t)]$ ^x $_0$ - ∫$$^x$_0$ u(t) v'(t)
= $e^t$ sin2t ] $$^x$_0$ - ∫$$^x$_0$ $e^t$ 2cos2t
= $e^x$ sin2x - $e^0$ sin2*0

Ensuite on réintegre ∫$$^x$_0$ $e^t$ 2cos2t :

on pose u'(x)= $e^t$ u(x)= $e^t$
et v(x)= 2cos2t v'(x)= -4sin2t

∫$$^x$_0$ u'(x) v(x) dx= $[u (x) v (x)]$ ^x $_0$ - ∫$$^x$_0$ u(x)v'(x) dx
= $e^t$ $2 c o s 2 t]$ ^x $_0$ - ∫$$^x$_0$ $e^t$ * (-4sin2t) dx
= $e^x$ 2cos2x - $e^0$ 2cos2*0) - $e^t$ $2 c o s 2 t]$ ^x $_0$
= $e^x$ 2cos2x - 2cos0) - $e^x$ 2cos2x - 2cos0)
= $e^x$ 2cos2x -2 - $e^x$ 2cos2x -2
= -4

Si on rajoute les deux, on a F(x)= $e^x$ sin 2x -4

Tu as fait la même erreur
∫ $e^t$ * (-4sin2t) dx n'est pas immédiate c'est à un coefficient prêt l'intégrale du départ.

Il faut donc la réintégrer par parties ?

Non, tu écris que c'est -4F(x) et tu fais passer ce terme à droite ce qui te donne
5F(x) = .....

Donc si je le passe de l'autre coté, et en regroupant mes calculs, je trouve 4F(x)= $e^x$ sin2x - $e^x$ 2cos2x- 2 ?

Non .. j'ai du me tromper, mais ce calcul est tellement brouillon ...

Je trouve :
5F(x)= $e^x$ sin2x - $2e^x$ cos2x+ 2

Vérifie.

je vérifie et je te dis