Calculer la valeur exacte de l'intégrale d'une fonction sur un intervalle

[margoushe]

Bonjour à tous,
Dans le cadre d'un DM de mathématiques j'ai une question à vous poser car la dernière question du devoir me cause du souci !
Je pars d'une fonction f(x)= 2x + Ln x / x
Je dois trouver sa primitive, je trouve donc : F(x)= x² + (Ln x)²/2
Puis je dois calculer la valeur exacte de l'intégrale de 1/4 à 3/2 donc je pose :
F(3/2)-F(1/4)
Et c'est la que surgit mon problème, je n'arrive pas à résoudre cela, à simplifier ... Voila ce que j'ai commencé :

F(3/2)-F(1/4) = [ (3/2)² + (Ln 3/2)²/2 ] - [ (1/4)² + (Ln 1/4)²/2 ]

= 35/16 + (Ln3 - Ln2)²/2 -(Ln1 - Ln4)²/2

Avais-je le droit d'utiliser cette formule : Ln a/b = Ln a-Lnb ?
Et que puis-je faire ensuite.. ? Je ne vois plus rien !
Merci infiniment d'avance !

[Noemi]

Bonsoir,
oui tu peux utiliser cette relation.
Tu peux développer le premier carré
Pour le deuxième
ln1 = ...
ln4 = ln 2² = ....

[margoushe]

Bonsoir Noemie,
Merci pour ces indications !

J'ai un peu avancer, je trouve donc :
35/16 + ((Ln3)²+(Ln2)²-2(Ln3.Ln2))/2 - (2Ln2)²/2

Etait-ce cela que tu entendais par développer le premier carré ?

Que puis-je faire de plus, je suis à nouveau perdue...
Merci beaucoup.

[Noemi]

oui c'est cela

Tu peux aussi faire la différence de deux carrés a² - b²

[margoushe]

Je ne comprends pas, ne faut-il pas que j'ai quelque chose de la forme (a+b)(a-b) pour pouvoir utilise a²-b² ?

[Noemi]

factoirise à partir de (ln3 - ln2)² - (2ln2)² = ....

[margoushe]

Factoriser par quel facteur ?

[Noemi]

Identité remarquable a² - b² = ....