Statistiques : La médienne

Bonjour à tous !

Malgré l'ambiance festive des vacances de noël, je n'ai pas été exempté d'un devoir maison de mathématiques
Si quelqu'un d'entre vous pouvait m'éclairer, ce serait super sympa !

Mon exercice parle de la médienne.
Cette dernière est calculée grâce à la formule
Médienne = ( VM * moyenne + Variance* Médiane ) / Variance + VM
Ici VM est le nombre obtenu en remplaçant, dans le calcul de la variance, la moyenne par la médiane.

Question: Montrer que la médienne est toujours située entre la médiane et la moyenne.

J'ai commencé par supposer que la moyenne < médiane.
donc la variance > variance M
donc que VMmoyenne < VMédianne

Après je suis bloquée, je ne vois pas comment faire. En réalité je ne sais pas si les inégalités ( ci-dessus) sont utiles pour montrer que la médienne est située entre la moyenne et la médiane.

Merci d'avance !
Et joyeuses fêtes

Bonjour Gloupi,

Transforme la relation en utilisant les formules de la médiane et de VM.

Je comprends pas :frowning2:
Les variances V et Vm ne s'annulent t-elles pas ?

Non
remplace VM par sa relation

La relation de Vm est bien
( 1/N Sigma nixi²) - M² ?

Oui
c'est la relation.

Je ne vois cependant pas en quoi cela va m'être utile, parce que j'ai une relaiton très longue après
j'ai Médienne =( (1/N sigma nixi²) - M²* moyenne + V*M) / ((1/N sigma nixi²)-M² + V )

Remplace aussi V par son expression.

Cela donne donc
Médienne = ((1/N sigma nixi²)-M² * Moyenne + (1/N sigma nixi²)-moyenne² * M )) / ((1/N sigma nixi²)-M²) + ((1/N sigma nixi²) - moyenne²))

Je ne comprends toujours pas pourquoi cela prouve que la médienne est toujours située entre la moyenne & la médiane :frowning2:

Tu poses
Moyenne = médiane +a et tu analyses l'expression de la médienne.

D'accord, je vais essayer
Merci

Cela donne donc si Médiane > Moyenne
et que médiane = moyenne + a

Médienne = ((1/N sigma nixi²) - (moyenne +a)² * moyenne + (1/N sigma nixi²) - moyenne² * (moyenne+a)) / (1/N sigma nixi²) - (moyenne +a)² + (1/N sigma nixi² ) - moyenne ²

Je ne vois pas comment l'analyser :frowning2:

A partir de :

Médienne = [(1/N sigma nixi²) - M²] * moyenne +[ (1/N sigma nixi²) - moyenne² ]* (moyenne+a)) / [1/N sigma nixi²) - M² + (1/N sigma nixi² ) - moyenne ²] = moyenne + a*[ (1/N sigma nixi²) - moyenne² ] / [1/N sigma nixi²) - M² + (1/N sigma nixi² ) - moyenne ²]

même approche avec moyenne = médiane + b

Pourquoi (1/N sigma nixi²) - M²] * moyenne a disparu dans la deuxième égalité ?

Avec moyenne = médiane+b , b est bien négatif ?

Met en facteur la moyenne et simplifie l'expression.

a et b peuvent être positif ou négatif.

D'accord

Donc écrire que
Médienne = moyenne [ (1/N ∑ nixi²) - médiane ² ] * moyenne + [(1/N ∑nixi²)- moyenne ²] * (moyenne + a) / [(1/N∑nixi²) - médiane ²] + [(1/N∑nixi²) - moyenne ²] = moyenne * a [(1/N∑nixi²) - moyenne ² ] / [(1/N ∑nixi²) - médiane ² ] + [ (1/N ∑nixi²) - moyenne² ]

et faire de même en posant moyenne = médiane + b
suffit pour montrer la médienne est toujours comprise entre la moyenne & la médiane ?

Médienne = [ (1/N ∑ nixi²) - médiane ² ] * moyenne + [(1/N ∑nixi²)- moyenne ²] * (moyenne + a) / [(1/N∑nixi²) - médiane ²] + [(1/N∑nixi²) - moyenne ²] = moyenne + a [(1/N∑nixi²) - moyenne ² ] / [(1/N ∑nixi²) - médiane ² ] + [ (1/N ∑nixi²) - moyenne² ]
Donc si a > 0, médienne > moyenne
si a < 0, ......

Si a< 0 alors médienne < médiane

Faut-il également le faire
en posant moyenne = médiane + b ce qui suppose que la moyenne est plus grande que la médiane

dans ce cas la cela donne
si b>0, médienne > médiane
si b< 0, médienne < moyenne
cela est juste ?

Non,

Donc si a > 0, médiane > médienne > moyenne
et si
a < 0 ...

si a<0 on a médiane < médienne < moyenne

et pour b on a
si b > 0, moyenne > médienne > médiane
si b < 0 ,moyenne < médienne < médiane

Cela est juste cette fois-ci ?

Donc si a > 0, médiane > médienne > moyenne
et si
a < 0 moyenne > médienne > médiane

donc on conclut :
......

Donc on conclut que la médienne est toujours comprise entre la moyenne et la médiane
Mais faut -il également le faire en posant b ?

Non, ce n'est pas utile de le faire pour b.

D'accord
Merci beaucoup

Tout ça est (peut-être) bien joli, mais d'où sortez-vous que :

$mediane\frac1n\sum_in_i(x_i-m)^2 = \frac1n\sum_in_ix_i^2-m^2\text{ , ou m est la mediane}$

!?

Bonjour Pierre_D ,

Je comprends que tu te sois informé sur le sujet ( vu que sur le forum où tu donnes de l'aide , la même demande a été posée récemment ) .

Pour répondre à ta question , je crois que tu n'as pas très bien saisi les notations utilisées ici !

Je pense que M n'est pas la Médiane , c'est la MOYENNE :

$\fbox{m=\overline x}$

c'est à dire ( propriété usuelle )

$\fbox{\frac1n\sum_in_i(x_i-\overline x)^2 = \frac1n\sum_in_ix_i^2-\overline x ^2$

Et dans la suite de la discussion : Moyenne M = médiane + a

Si Noemi ( qui a répondu à la demande en 2011 ) passe par là , elle pourra te donner plus de détails , si elle le juge utile .

Bonjour Pierre_D ,

Si tu veux des éléments supplémentaires à la réponse indiquée par mtschoon,
n'hésite pas à proposer ton questionnement.