Statistiques : minimum d'une série

Je n'arrive pas à m'en défaire, si quelqu'un peut m'aider!

On considére une série statistique $X_1$ , $X_2$ , ... , $X_r$ et les effectifs associés $N_1$ , $N_2$ , ... , $N_r$ .
On définit la fonction de dispersion par :
d(x) = ∑(i=1 jusqu'à r) $N_i$ $X_i$ - X)² pour tout réel X

Pour un cas particulier, r=3
a. Ecrire d(x) sans le symbole ∑ et développer d(x)
b. Déterminer en quel réel la fonction d admet un minimum.
Cas général
a. Développer d(x).
b. Ecrire d(x) sous la forme ax²+bx+c en précisant les valeurs de a, b et c.
c. Démontrer que d admet son minimum en x=moyenne, c'est à dire que la moyenne est le réel qui rend minimale la somme des écarts aux valeurs de la série.

Merci d'avance,

Bonjour NOLS,

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.

Au 1.a. j'ai trouvé 2n+12nx²
au 1.b. je dis que c'est pour x=0

Et tout le 2 je bloque carrément.

Pour le 1 a.
d = $n$ _1 $x_1$ -x)² + $n$ _2 $x_2$ -x)² + ......

Oui oui, mais une fois ainsi développé puis réduit, ça donne 2n+12nx². A moins qu'il faille le laisser sous la forme développée..?

Rien n'indique que les coefficients $X_i$ et $n_i$ sont égaux.

C'est vrai Merci. Je laisse donc sous la forme développée, soit d(x)=n1(x1-x)² + n2(x2-x)² + n3(x3-x)²

Je doute aussi, du coup, pour le minimum... C'est bien pour x=0 que d a sa valeur minimale...?

Etudie les variations de la fonction d.

Comment ça..?

Pour trouver le minimum, il faut trouver le tableau de variation.

Excuse moi mais je ne vois pas comment faire.

Un tableau de variation, alors que cette fonction a deux "inconnues"... Comment faire?

Calcule la dérivée, puis résous d'(x) = 0.

Ah désolée, on a pas encore vu les dérivées... Le prof s'est peut être trompé en nous donnant ce dm trop tôt, ou peut être qu'il y a un autre moyen..?
Bref merci de ton aide, je trouverai certainement quelquechose plus tard ...

Merci

Donc développe et ordonne puis analyse le fonction obtenue.
Tu dois reconnaître une fonction connue.

Alors, en développant je trouve d(x)=2nx²+12nx²

Je ne trouve pas de fonction connue qui y ressemble

Non
d(x) = x² $(n$ _1 $+ n$ _2 $n_3$ )+2x( .....)

......

Je ne trouve pas.

Je comprends ce qu'il faut faire, mais n'y arrive pas C'est pas grave, merci quand même.

Complète l'expression.

Je trouve : x² $(n$ _1 $+ n$ _2 $n_3$ ) - $2 x (n$ _1 $x$ _1 $+ n$ _2 $x$ _2 $+ n$ _3 $x_3$ ) + $n$ _1 $x_1$ ² $+ n$ _2 $x_2$ ² $+ n$ _3 $x_3$ ²

C'est correct,

Cherche le minimum.

On a un polynome du second degré (ax²+bx+c) avec a>0, donc le courbe est orientée vers le haut, donc présence d'un minimum.
Pour le trouver, -b/2a
Ici, je trouve : $x$ _1 $+ x$ _2 $x_3$

Oui, -b/2a,

mais la simplification n'est pas bonne.

Oups, c'est $(n$ _1 $x$ _1 $+ n$ _2 $x$ _2 $+ n$ _3 $x$ _3 $) / (n$ _1 $+ n$ _2 $n_3$ )

Mais peux tu m'aider pour "amorcer" le 2? Je comprends pas comment on peut faire

Pour la question 2,

a. Au lieu de r = 3, on s'arrête à r.
b. C'est le résultat de la factorisation.
c. idem que pour la question 1 : exprime -b/2a.

2
a. d(x) = $n$ _1 $x_1$ -x)² $+ n$ _r $x_r$ -x)²
= $n$ _1 $x_1$ ² $- n$ _1 $x$ _1 $x+n_1$ x² + $n$ _r $x_r$ ² $- n$ _r $x$ _r $x+n_r$ x²

b. d(x) = x² $(n$ _1 $+ n$ _r $) - 2 x (n$ _1 $x$ _1 $+ n$ _r $x$ _r $) + n$ _1 $x_1$ ² $+ n$ _r $x_r$ ²
Donc a = $n$ _1 $n_r$
b = $- 2 (n$ _1 $x$ _1 $+ n$ _r $x_r$ )
c = $n$ _1 $x_1$ ² $+ n$ _r $x_r$ ²

c. minimum = $(n$ _1 $x$ _1 $+ n$ _r $x$ _r $) / (n$ _1 $n_r$ )
C'est bien la moyenne de cette série statistique !

Il manque des termes, l'indice varie de 1 à r,
donc r termes.

Il faut rajouter des pointillés à chaques expressions, c'est ça!?

Du type : d(x) = $n$ _1 $x_1$ -x)²+ ... $+ n$ _r $x_r$ -x)²

Oui des pointillés.

Bon eh bien j'ai refait le 2. en rajoutant des pointillés, et voila!

Merci beaucoup pour toute cette aide, je comprenais VRAIMENT rien! Merci merci!