Calculer les limites de fonctions trigonométriques

salut à tous j ai deux limites qui me fatigue.
lim(x-cosx)/xsinx
x--»0 et
lim(1-cosx)/sinx
x--»0. merci d avance

Bonsoir,

Piste pour débuter,

Lorsque x tend vers 0 , (x-cosx) tend vers 0-1=-1

x et sinx tendent vers 0 en étant de même signe donc xsinx tend vers $0^+$

le quotient tend donc vers ................

vers +inf. merci
et la deuxieme

Bonsoir pierresimpore

Non -1/0+ ne donne pas + ∞

Pour la deuxième limite, connais-tu le théorème de L'Hospital ?

bonsoir oui je n ai pas attention au -.
pr le theoreme tu es la premiere personne a me dire ca.

Bonjour Noemi et pierresimpore ,

Pour la seconde , regarde ton cours de TS; tu as peut-être des limites usuelles , ou des expressions approchées , relatives à sinx et 1-cosx lorsque x est voisin de 0

Première idée

Tu sais (peut-être) que lorsque x est voisin de 0 :

$\sim x$
$\sim \frac{x^2}{2}$

alors $cosx−1sinx∼..................\frac{cos x-1}{sinx} \sim ..................$

D'où limite égale à 0

Deuxième idée ( qui revient au même que la première )

Dans ton cours , tu as (peut-être) des limites uusuelles :

$lim⁡x→0sinxx=1\lim_{x\to 0}\frac{sinx}{x}=1$

$lim⁡x→01−cosxx22=1\lim_{x\to 0}\frac{1-cosx}{\frac{x^2}{2}}=1$

Tu adaptes pour trouver la limite demandée

Troisième idée ( dont t'a parlé Noemi ) , qui est la plus belle .

$1−cosxsinx=−1−cosx0−sinx=−cosx−1sinx−0=−cosx−cos0sinx−sin0=−cosx−cos0xsinx−sin0x\frac{1-cosx}{sinx}=-\frac{1-cosx}{0-sinx}=-\frac{cosx-1}{sinx-0}=-\frac{cosx-cos0}{sinx-sin0}=-\frac{\frac{cosx-cos0}{x}}{\frac{sinx-sin0}{x}}$

En utilisant la définition de dérivée en 0 , le numérateur a pour limite le nombre dérivé de "cosx" en 0 , et le dénominateur a pour limite le nombre dérive de "sinx" en 0 , donc....................

A toi de voir ce qui peut te convenir !

merci mtschoon et Noemi. la troisieme me parait un peu floue mais je vais essayer de comprendre. avec la 2ieme j ai pu trouver 0. mais est ce que vous pouvez m enoncer ce theoreme d hospital? merci

Regarde ici

http://fr.wikipedia.org/wiki/Règle_de_L'Hôpital

Le problème , c'est qu'il n'est pas au programme de TS ce théorème...alors ...tu dois faire toute la démarche ( d'où 3ème idée )

Rappel ( à utiliser pour le numérateur et le dénominateur ) pour la fin de l'explication :

$lim⁡x→0g(x)−g(0)x=g′(0)\lim_{x\to 0}\frac{g(x)-g(0)}{x}=g'(0)$

Ainsi :

$lim⁡x→01−cosxsinx=−−sin0cos0=01=0\lim_{x\to 0}\frac{1-cosx}{sinx}=-\frac{-sin0}{cos0}=\frac{0}{1}=0$

Bon courage !