Trouver l'expression d'une suite Un en fonction de n



  • Bonjour ,
    J'ai un exercice sur la récurrence j'arrive à débuter mais je me retrouve coincé 😞 . Voici la consigne :
    Soit (Un) la suite définie par U0=1 et Un+1 = Un/(2+Un)
    Démontrer par récurrence que pour tout n E N , Un = 1/(2^(n+1)-1)
    Voilà maintenant ce que j'ai commencer à faire :
    Soit P(n) : Un =1/(2^(n+1)-1)
    Initialisation : si n=0 alors U0=1 et 1/(2^(0+1)-1)=1 ; 1=1 donc P(0) est vraie
    Hérédité : Supposons que si P(n) est vrai pour un certain range n alors P(n+1) est vrai.

    Me voici bloquer ici je ne sais plus comment faire pour arriver à l'objectif pouvez vous m'aider svp
    Merci d'avance pour vos réponses 🙂


  • Modérateurs

    Bonjour marjo,

    Remplace dans l'expression de Un+1 , Un par son expression en fonction de n, puis simplifie.



  • Bonjour Noemi ,
    Merci pour votre réponse , j'ai fais ce que vous m'avez dis cependant j'ai du faire une erreur quelque part car mon résultat n'est peut etre pas très coherent je vous montre ce que j'ai fais :
    Un+1= (1/(2^(n+1)-1)/(2+(1/(2^(n+1)-1)
    = (1/(2^(n+1)-1)/(4^(n+2)-2+1)/(2^(n+1)-1)
    =1/(2^(n+1)-1)*(2^(n+1)-1)/(4^(n+2)-1)
    = 1/(4^(n+2)-1)

    Alors que je devrais trouver 1/(2^(n+2)-1) 😞
    Pouvez vous m'indiquer mon erreur svp ?
    Merci beaucoup 🙂


  • Modérateurs

    Un+1= (1/(2^(n+1)-1)/(2+(1/(2^(n+1)-1)
    = (1/(2^(n+1)-1)/((2^(n+2)-1)/(2^(n+1)-1)
    = ....



  • Ah oui oui c'est moi qui est fais une erreur lorsque j'ai mis au même dénominateur merci beaucoup pour votre aide je peux maintenant conclure mon exercice bonne journée 🙂


  • Modérateurs

    Bonne journée.


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