Établir les tableaux de variation de fonctions et donner l'équation de tangentes



  • Bonjour,

    Le plan est muni d'un repère orthonormé (O,I,J).

    C1,C2,C3 sont les courbes représentant les fonctions f, g et h définis sur mathbbRmathbb{R} par : f(x)=x²+1 , g(x)=1/2x²+x+1/2 , h(x)=-x²+4x-1 .

    1. 2tablir les tableaux de variation de f, g et h.

    2.Montrer que :
    a. le point A(1;2) est commun à C1, C2 et C3;
    b. les trois courbes admettent en A la meme tngente T

    1. Ecrire une équation de T et étudier la position de chacune des courbes par rapport à T.

    4.Tracer T, C1, C2 et C3

    1. Chacune des courbes C1, C2 et C3 admet-elle une tangente parallèle à l droite d'équation y=x?
      Si oui , préciser en quel point, et écrire leur équation .

    Alors moi j'ai déjà fait le 1. et le 2., et je bloque au 3., je ne comprends pas, il faut que j'en invente une de nulle part ??

    merci d'avance pour votre aide !


  • Modérateurs

    Bonjour Riri,

    L'équation de la tangente est de la forme y = f'(a)(x-a) + f(a)



  • oui, mais l'équation, je l'ai dejà , et c'est la meme pour les 3 fonctions, y=-2(x-1)+2

    et on me demande , une autre équation, du coup je sais pas quoi faire ??


  • Modérateurs

    Pourquoi ce - 2 dans l'équation ?

    Oui, une seule équation de tangente et tu étudies la position en analysant le signe de f(x) - T.



  • le -2 c'est le f'(1)= g'(1)=h'(1)

    ok donc c'est par rapport à l'équation que j'ai



  • pour le signe de f(x) - T c'est : -
    g(x) - T c'est : +
    h(x) - T c'est : +


  • Modérateurs

    Mais f'(1)= g'(1) = h'(1) = 2 !!



  • moi j'ai trouvé
    f'(1)= g'(1) = h'(1) = -2
    et f(1)= g(1) = h(1) = 2

    vu que f'(a) = - f(a)


  • Modérateurs

    Pourquoi peut-on écrire f'(a) = -f(a) ?
    Et comment trouves tu f'(1) = -2 ?



  • en fait j'ai vu ça dns la leçon du livre dans l'étude d'un cas , je sais pas si on peut le faire tout le temps en fait, mais euh c'est écrit que f'(x) = - 1/x
    donc je pense que c'est un cas et pas une généralité ?

    pour comment le trouver j'ai mis un "-" devant l'expression et le résultat etait -2


  • Modérateurs

    Comment calcules tu la dérivée ?



  • on fait f(a+h)-f(a) /h


  • Modérateurs

    Applique aux fonctions.



    1. f(1+h)-f(1) /h tend vers 0 quand h tend 0
    2. f(1+h)-f(1) /h tend vers -1 quand h tend 0
    3. f(1+h)-f(1) /h tend vers -4 quand h tend vers 0

    c'est pas normal ils doivent avoir la meme fonction, et là ça fera des fonctions différentes ??


  • Modérateurs

    Vérifie tes calculs, indique les.



    1. (1+h)²+1-(1²+1) /h = 1+h²+1-1-1/h = h²/h = h
    2. (1+h)² * 1/1- (1+1/2) = 1/2+hh²-3/2 = -1+h
    3. (1+h)²*4-4(1-1) = (-1-h²)*4 = -1-h

    j'ai mal calculé ?


  • Modérateurs

    Pour le premier :
    [(1+h)²+1-(2)] /h = (1+2h+h²+1-2)/h =
    (2h+h²)/h = 2 + h
    et si h tend vers 0, cela donne 2



  • T:y=2(x-1)+2 ?


  • Modérateurs

    Oui,

    Développe et simplifie.



  • T:y=2x


  • Modérateurs

    Oui, c'est correct.



  • pour la 3. je fais la différence entre la fonction et l'équation de la tangente n'est ce pas ?


  • Modérateurs

    Pour étudier la position relative de f et T, exprime la différence f(x) - T puis fais un tableau de signes.



  • ok, maintenant pour le 5. Chacune des courbes C1, C2 et C3 admet-elle une tangente parallèle à la droite d'équation y=x?
    Si oui , préciser en quel point, et écrire leur équation .

    ici il faudrait que cherche quand f'(x) =1
    mais je ne comprends pas , f'(x) qui a deja été calculé est égale à 2
    ce qui fait que je dois prendre l'équation en mettant 2 termes le 1 d'un coté et la fonction f' de l'autre ou il faut faire autre chose ??


  • Modérateurs

    Non

    f'(x) = 2x, soit à résoudre 2x = 1, x = ....
    g'(x) = x+1, ....
    h'(x) = ....



  • ah oui je me suis trompé c'est 2x, mis alors la dérivé est la meme pour les trois fonctions car ils ont une équation commune ??


  • Modérateurs

    Non, ce n'est pas la même droite.



  • ah oui ok

    alors pour f'(x) = 2x
    2x=1
    x= 1/2

    g'(x)= x+1
    x=1-1
    x=0

    h'(x)= euh la méthode utilisée ?


  • Modérateurs

    h'(x) = -2x + 4
    ....



  • h'(x) = -2x + 4=1
    -2x=1-4
    -2x=-3
    x=3/2


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