Établir les tableaux de variation de fonctions et donner l'équation de tangentes

Bonjour,

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O,I,J).

C1,C2,C3 sont les courbes représentant les fonctions f, g et h définis sur $mathbb{R}$ par : f(x)=x²+1 , g(x)=1/2x²+x+1/2 , h(x)=-x²+4x-1 .

2tablir les tableaux de variation de f, g et h.

2.Montrer que :
a. le point A(1;2) est commun à C1, C2 et C3;
b. les trois courbes admettent en A la meme tngente T

Ecrire une équation de T et étudier la position de chacune des courbes par rapport à T.

4.Tracer T, C1, C2 et C3

Chacune des courbes C1, C2 et C3 admet-elle une tangente parallèle à l droite d'équation y=x?
Si oui , préciser en quel point, et écrire leur équation .

Alors moi j'ai déjà fait le 1. et le 2., et je bloque au 3., je ne comprends pas, il faut que j'en invente une de nulle part ??

merci d'avance pour votre aide !

Bonjour Riri,

L'équation de la tangente est de la forme y = f'(a)(x-a) + f(a)

oui, mais l'équation, je l'ai dejà , et c'est la meme pour les 3 fonctions, y=-2(x-1)+2

et on me demande , une autre équation, du coup je sais pas quoi faire ??

Pourquoi ce - 2 dans l'équation ?

Oui, une seule équation de tangente et tu étudies la position en analysant le signe de f(x) - T.

le -2 c'est le f'(1)= g'(1)=h'(1)

ok donc c'est par rapport à l'équation que j'ai

pour le signe de f(x) - T c'est : -
g(x) - T c'est : +
h(x) - T c'est : +

Mais f'(1)= g'(1) = h'(1) = 2 !!

moi j'ai trouvé
f'(1)= g'(1) = h'(1) = -2
et f(1)= g(1) = h(1) = 2

vu que f'(a) = - f(a)

Pourquoi peut-on écrire f'(a) = -f(a) ?
Et comment trouves tu f'(1) = -2 ?

en fait j'ai vu ça dns la leçon du livre dans l'étude d'un cas , je sais pas si on peut le faire tout le temps en fait, mais euh c'est écrit que f'(x) = - 1/x
donc je pense que c'est un cas et pas une généralité ?

pour comment le trouver j'ai mis un "-" devant l'expression et le résultat etait -2

Comment calcules tu la dérivée ?

on fait f(a+h)-f(a) /h

Applique aux fonctions.

f(1+h)-f(1) /h tend vers 0 quand h tend 0
f(1+h)-f(1) /h tend vers -1 quand h tend 0
f(1+h)-f(1) /h tend vers -4 quand h tend vers 0

c'est pas normal ils doivent avoir la meme fonction, et là ça fera des fonctions différentes ??

Vérifie tes calculs, indique les.

(1+h)²+1-(1²+1) /h = 1+h²+1-1-1/h = h²/h = h
(1+h)² * 1/1- (1+1/2) = 1/2+hh²-3/2 = -1+h
(1+h)²*4-4(1-1) = (-1-h²)*4 = -1-h

j'ai mal calculé ?

Pour le premier :
[(1+h)²+1-(2)] /h = (1+2h+h²+1-2)/h =
(2h+h²)/h = 2 + h
et si h tend vers 0, cela donne 2

T:y=2(x-1)+2 ?

Oui,

Développe et simplifie.

T:y=2x

Oui, c'est correct.

pour la 3. je fais la différence entre la fonction et l'équation de la tangente n'est ce pas ?

Pour étudier la position relative de f et T, exprime la différence f(x) - T puis fais un tableau de signes.

ok, maintenant pour le 5. Chacune des courbes C1, C2 et C3 admet-elle une tangente parallèle à la droite d'équation y=x?
Si oui , préciser en quel point, et écrire leur équation .

ici il faudrait que cherche quand f'(x) =1
mais je ne comprends pas , f'(x) qui a deja été calculé est égale à 2
ce qui fait que je dois prendre l'équation en mettant 2 termes le 1 d'un coté et la fonction f' de l'autre ou il faut faire autre chose ??

Non

f'(x) = 2x, soit à résoudre 2x = 1, x = ....
g'(x) = x+1, ....
h'(x) = ....

ah oui je me suis trompé c'est 2x, mis alors la dérivé est la meme pour les trois fonctions car ils ont une équation commune ??

Non, ce n'est pas la même droite.

ah oui ok

alors pour f'(x) = 2x
2x=1
x= 1/2

g'(x)= x+1
x=1-1
x=0

h'(x)= euh la méthode utilisée ?

h'(x) = -2x + 4
....

h'(x) = -2x + 4=1
-2x=1-4
-2x=-3
x=3/2

C'est correct.

donc ça c'est le point l'équation je la mets comment ?

Tu écris les coordonnées des points et tu cherches l'équation qui est de la forme y = x+b,
Détermine la valeur de b avec les coordonnées des points.

je peux rémplacer x dans cette equation par exemple ?
f(x) = 2*1/2=1 ? et b est égale à y donc 1 ?

Pour f(x), x = 1/2; et y = 5/4
y = x+b,
5/4 = 1/2 + b; b = 5/4 - 1/2 = 3/4
y = x + 3/4