Statistiques : inégalité de Bienaymé-Tchebychev



  • Bonjour, je cherche de l'aide afin de résoudre l'exercice suivant :

    Soit n un entier naturel non nul.
    Soit x1,x2,...,xn les valeurs d'une série statistique.
    On note x\overline{x} sa moyenne et σ\sigma son écart type.
    Soit k le nombre de valeurs de la série statistique vérifiant xix<2σ|x_i-\overline{x}| \lt 2\sigma.
    On suppose σ\sigma > 0.

    1. Montrer que i=1i=n(xix)24(nk)σ2\sum_{i=1}^{i=n}(xi-\overline{x})^2 \ge 4(n-k)\sigma ^2.

    2. En déduire que k ≥ 3/4n.

    Merci d'avance pour votre aide.


  • Modérateurs

    Bonsoir Cizer,

    Indique tes éléments de réponse.
    Exprime la somme.


  • Modérateurs

    Combien de terme |xi-/x| sont ≥ 2∂ ?



  • Si k est le nombre de valeurs xi de la série statistique vérifiant |xi-/x| < 2∂, alors que doit vérifier le reste des termes de cette série et quel est leur nombre ?



  • On a : k < 2∂

    C'est ça ?

    Je vous avouerai que je ne comprends rien a cet exercice , je ne vois pas pour où commencer ...


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Quelques pistes pour t'aider à comprendre ,

    Il y a k valeurs de la série statistique vérifiant xix<2σ|x_i-\overline{x}| \lt 2\sigma.

    DONC: il y a (n-k) valeurs de la série statistique vérifiant xix2σ|x_i-\overline{x}| \ge 2\sigma.

    En élevant au carré :

    xix2σ\longleftright(xix)24σ2|x_i-\overline{x}| \ge 2\sigma \longleftright (x_i-\overline{x})^2 \ge 4\sigma^2

    La somme de ces (n-k) valeurs est donc supérieure ou égale à (nk)4σ2(n-k)4\sigma^2

    La seconde question s'en déduira .



  • Pouvez vous réexpliquer cela svp je n'ai pas bien compris merci 😆


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Ce topic date de cinq ans environ...et à ma connaissance, ce n'est pas dans l'esprit du programme actuel de 1S...

    Attends d'avoir un cours sur le sujet.



  • Oui mais j'ai un dm avec cet enoncé , pouvez vous donner les résultats svp merci !


  • Modérateurs

    D'accord, je regarde mais ici on ne donne pas les résultats, on aide à les trouver.

    La somme S de ces (n-k) valeurs est donc supérieure ou égale à (nk)4σ2(n-k)4\sigma^2

    s4(nk)σ2s \ge 4(n-k)\sigma^2

    Conséquence :

    Vu que

    \bigsumi=1i=n(xix)2s\bigsum_{i=1}^{i=n}(x_i-\overline x )^2\ge s

    on peut déduire que :

    \bigsumi=1i=n(xix)24(nk)σ2\fbox{\bigsum_{i=1}^{i=n}(x_i-\overline x )^2\ge 4(n-k)\sigma^2}

    Utilise la définition de la variance

    v(x)=σ2=1n\bigsumi=1i=n(xix)2v(x)=\sigma ^2=\frac{1}{n}\bigsum_{i=1}^{i=n}(x_i-\overline x )^2

    Donc nσ2=\bigsumi=1i=n(xix)2n\sigma ^2=\bigsum_{i=1}^{i=n}(x_i-\overline x )^2

    La formule encadrée peut donc s'écrire :

    nσ24(nk)σ2n\sigma ^2\ge 4(n-k)\sigma^2

    Tu simplifies par σ², tu transformes et tu dois trouver k en fonction de n , comme demandé dans l'énoncé.



  • Je bloque vraiment , mais quand vous dites simplifier etc , comment voulez vous simplifier cela et en déduire que K≥3/4 n ?

    Je suis assez perdue dans tout ça..


  • Modérateurs

    En divisant chaque membre par σ² qui est positif, tu trouves

    n4(nk)n \ge 4(n-k)

    Tu dois pouvoir terminer.



  • Pouvez vous m'expliquer comment trouver 88% sur une série d'intervalle [x-3σ ; x+3σ] , je ne trouve vrmt pas :(..


  • Modérateurs

    Piste,

    Tu appliquesexactement la méthode faite précédemment.

    Si tu as compris pour 2σ, tu dois savoir faire pour 3σ !

    Tu pars de xix3σ|xi-\overline x| \ge 3\sigma

    Tu arrives à \bigsum(xix)29(nk)σ2\bigsum (xi-\overline x)^2 \ge 9(n-k)\sigma^2

    Tu continues

    Tu dois trouver k89nk\ge \frac{8}{9}n

    Tu tires la conclusion.


  • Modérateurs

    Hier soir, tu m'as envoyé un MP demandant de te desinscrire.

    Voilà ce qui est indiqué dans les FAQ

    Citation
    Comment ne plus être membre de Math foru' ?
    Il suffit d'envoyer un message au webmaster afin qu'il vous désinscrive
    Tu peux donc envoyer un message à Admin (ou Thierry)


 

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