Statistiques : inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Bonjour, je cherche de l'aide afin de résoudre l'exercice suivant :

Soit n un entier naturel non nul.
Soit x1,x2,...,xn les valeurs d'une série statistique.
On note $x‾\overline{x}$ sa moyenne et $σ\sigma$ son écart type.
Soit k le nombre de valeurs de la série statistique vérifiant $∣xi−x‾∣<2σ|x_i-\overline{x}| \lt 2\sigma$ .
On suppose $σ\sigma$ > 0.

Montrer que $∑i=1i=n(xi−x‾)2≥4(n−k)σ2\sum_{i=1}^{i=n}(xi-\overline{x})^2 \ge 4(n-k)\sigma ^2$ .
En déduire que k ≥ 3/4n.

Merci d'avance pour votre aide.

Bonsoir Cizer,

Indique tes éléments de réponse.
Exprime la somme.

Combien de terme |xi-/x| sont ≥ 2∂ ?

Si k est le nombre de valeurs xi de la série statistique vérifiant |xi-/x| < 2∂, alors que doit vérifier le reste des termes de cette série et quel est leur nombre ?

On a : k < 2∂

C'est ça ?

Je vous avouerai que je ne comprends rien a cet exercice , je ne vois pas pour où commencer ...

Bonjour,

Quelques pistes pour t'aider à comprendre ,

Il y a k valeurs de la série statistique vérifiant $∣xi−x‾∣<2σ|x_i-\overline{x}| \lt 2\sigma$ .

DONC: il y a (n-k) valeurs de la série statistique vérifiant $∣xi−x‾∣≥2σ|x_i-\overline{x}| \ge 2\sigma$ .

En élevant au carré :

$|x_i-\overline{x}| \ge 2\sigma \longleftright (x_i-\overline{x})^2 \ge 4\sigma^2$

La somme de ces (n-k) valeurs est donc supérieure ou égale à $(n−k)4σ2(n-k)4\sigma^2$

La seconde question s'en déduira .

Pouvez vous réexpliquer cela svp je n'ai pas bien compris merci

Bonjour,

Ce topic date de cinq ans environ...et à ma connaissance, ce n'est pas dans l'esprit du programme actuel de 1S...

Attends d'avoir un cours sur le sujet.

Oui mais j'ai un dm avec cet enoncé , pouvez vous donner les résultats svp merci !

D'accord, je regarde mais ici on ne donne pas les résultats, on aide à les trouver.

La somme S de ces (n-k) valeurs est donc supérieure ou égale à $(n−k)4σ2(n-k)4\sigma^2$

$\ge 4(n-k)\sigma^2$

Conséquence :

Vu que

$\bigsum_{i=1}^{i=n}(x_i-\overline x )^2\ge s$

on peut déduire que :

$\fbox{\bigsum_{i=1}^{i=n}(x_i-\overline x )^2\ge 4(n-k)\sigma^2}$

Utilise la définition de la variance

$v(x)=\sigma ^2=\frac{1}{n}\bigsum_{i=1}^{i=n}(x_i-\overline x )^2$

Donc $n\sigma ^2=\bigsum_{i=1}^{i=n}(x_i-\overline x )^2$

La formule encadrée peut donc s'écrire :

$nσ2≥4(n−k)σ2n\sigma ^2\ge 4(n-k)\sigma^2$

Tu simplifies par σ², tu transformes et tu dois trouver k en fonction de n , comme demandé dans l'énoncé.

Je bloque vraiment , mais quand vous dites simplifier etc , comment voulez vous simplifier cela et en déduire que K≥3/4 n ?

Je suis assez perdue dans tout ça..

En divisant chaque membre par σ² qui est positif, tu trouves

$\ge 4(n-k)$

Tu dois pouvoir terminer.

Pouvez vous m'expliquer comment trouver 88% sur une série d'intervalle [x-3σ ; x+3σ] , je ne trouve vrmt pas :(..

Piste,

Tu appliquesexactement la méthode faite précédemment.

Si tu as compris pour 2σ, tu dois savoir faire pour 3σ !

Tu pars de $∣xi−x‾∣≥3σ|xi-\overline x| \ge 3\sigma$

Tu arrives à $\bigsum (xi-\overline x)^2 \ge 9(n-k)\sigma^2$

Tu continues

Tu dois trouver $k≥89nk\ge \frac{8}{9}n$

Tu tires la conclusion.

Hier soir, tu m'as envoyé un MP demandant de te desinscrire.

Voilà ce qui est indiqué dans les FAQ

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